metritchni_proct

Аналогiчно у координатному просторi пряма, що проходить через точки M1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2), задається параметрично рiвняннями

{(x, y, z) | x = x1 +(x2 −x1)t, y = y1 +(y2 −y1)t, z = z1 +(z2 −z1)t,

0 ≤ t ≤ 1},

причому знову точки цiєї множини можна лiнiйно впорядкувати.

Цiлком природно вiдрiзком у просторi Rn з евклiдовою ме-

трикою з кiнцями M1(x(1)1 , x(1)2 , . . . , x(1)n ) i M2(x(2)1 , x(2)2 , . . . , x(2)n )

назвати множину

{(x1, x2, . . . , xn) | x1 = x(1)1 + (x(2)1 − x(1)1 )t,

x2 = x(1)2 + (x(2)2 − x(1)2 )t, . . . ,

xn = x(1)n + (x(2)n − x(1)n )t, 0 ≤ t ≤ 1}

i позначати [M1, M2].

Якщо скористатись позначеннями x = (x1, x2, . . . , xn),

x1 = (x(1)1 , x(1)2 , . . . , x(1)n ), x2 = (x(2)1 , x(2)2 , . . . , x(2)n ),

x2 − x1 = (x(2)1 − x(1)1 , x(2)2 − x(1)2 , . . . , x(2)n − x(1)n )),

то [M1 M2] = {x | x = x1 + t(x2 − x1), 0 ≤ t ≤ 1}.

Назва вiдрiзок оправдується тим, що множина [M1 M2] обмежена i замкнена, точки M1 i M2 її межовi точки. Якщо вiдстань

151

d(M1, M2) прийняти за довжину цього вiдрiзка, i точка M◦ визначається значенням параметра t◦ (0; 1), то довжина вiдрiзка [M1 M2] дорiвнює сумi довжин вiдрiзкiв [M1 M◦] i [M◦ M2], зокрема точка, що визначається значенням параметра 1/2 є серединою цього вiдрiзка.

У подальшому термiн "простiр Rn"буде означати, що мова йде про метричний простiр Rn з евклiдовою (або їй еквiвалентною) метрикою.

Теорема 6.9. Будь-який вiдрiзок у просторi Rn є зв’язною множиною.

Доведення. Припустимо, що у просторi Rn iснує вiдрiзок з кiнцями a = (a1, a2, . . . , an), b = (b1, b2, . . . , bn), (a 6= b), який не є зв’язною множиною. Тодi iснують двi непорожнi, неперекривнi, замкненi у просторi [a b] множини F1, F2 такi, що [a b] = F1 F2. Подiлимо вiдрiзок [a b] пополам, тобто вiзьмемо на вiдрiзку точку

оберемо той, який мiстить як точки з множини F1, так i точки з множини F2. Такий вiдрiзок обов’язково iснує, бо коли б,

рiзок подiлимо навпiл i з двох отриманих оберемо той, який

152

мiстить як точки з множини F1, так i точки з множини F2, i позначимо його через [a2, b2]. Продовжимо цей процес необмежено. Як результат отримаємо послiдовнiсть [an, bn] обмежених замкнених (а отже компактних) множин, яка є спадною

[an, bn] [an+1, bn+1], n = 1, 2, . . .) i

В силу теореми Кантора для компактних множин iснує єдина точка a◦, яка належить усiм цим вiдрiзкам. Оскiльки для

[an, bn] B(a◦, r). Це означає, що a◦ є точкою дотикання як множини F1 так i множини F2. В силу їх замкненостi a◦ F1 i a◦ F2, а отже, F1 ∩ F2 6= . Останнє суперечить нашому

тому випадку, коли кожен з вiдрiзкiв ламаної є пiдмножиною множини E, казатимемо, що ламана лежить у множинi E.

Теорема 6.10. Якщо для будь-яких двох точок множини E точок метричного простору Rn iснує ламана, яка сполучає цi точки i лежить у множинi E, то ця множина зв’язна.

Доведення. Насамперед переконаємось, що будь-яка лама-

на

[a◦ a1] [a1 a2] . . . [an−2 an−1] [an−1 an]

є зв’язна множина. Справдi, кожен вiдрiзок [ak−1 ak] для k = 1, n зв’язна множина. В силу теореми 1.6.5 множина [a◦ a1] [a1 a2] зв’язна як об’єднання двох зв’язних множин з непорожнiм перерiзом. I для кожного k = 1, 2, . . . , n − 1 з припущення, що ламана [a◦ a1] [a1 a2] . . . [ak−1 ak] є зв’язною множиною, випливає, що ламана [a◦ a1] [a1 a2] . . . [ak−1 ak] [ak ak+1] теж

153

зв’язна як об’єднання двох зв’язних множин з непорожнiм перерiзом. Згiдно принципу математичної iндукцiї задана ламана є зв’язна множина. Отже, якщо за умовою теореми для будьяких двох точок множини E iснує ламана (зв’язна множина), яка сполучає цi точки (яка мiстить цi точки) i лежить у множинi E (є пiдмножиною множини E), то за теоремою 6.2 така множина зв’язна.

Зауваження. Можна довести (див. [6, c.141-142]), що для того, щоб вiдкрита множина G простору Rn була зв’язною, необхiдно i достатньо, щоб будь-якi двi точки цiєї множини можна було з’єднати ламаною, яка лежить у множинi G.

Для простору R2 (див. задачу 1.114) доведено, що кожен вiдрiзок згаданої ламаної паралельний однiй з осей координат.

Приклад 3. З’ясувати, якi iз заданих множин точок простору R2 є зв’язними:

a) E1 = {(x, y) | x Q, y Q};

Розв’язання. Очевидно, що метричний простiр R2 з евклiдовою метрикою iзометричний множинi точок координатної площини (система координат прямокутна декартова), i тому множини E1, E2, E3, E4, E5 є множинами точок, у яких вiдповiдно: а) обидвi координати рацiональнi, б) принаймнi одна координата рацiональна, в) одна рацiональна, друга iррацiональна, г) обидвi iррацiональнi, д) принаймнi одна iррацiональна.

154

Множина E1 незв’язна, бо, наприклад, множини

√

A = {(x, y) | x Q, x < 2, y Q}

A = {(x, y) | x ≥ 2}, B = {(x, y) | x ≥ 2},

то A ∩ B = A ∩ B = , тобто є непорожнiми роз’єднаними множинами, об’єднання яких дорiвнює E1.

Множина E2 є зв’язною, бо для будь-яких двох її точок iснує ламана, яка сполучає цi точки i лежить у E2. Справдi, у випадку, коли точки M1 = (x1, y1), M2 = (x2, y2) мають рацiональнi координати, то або вiдрiзок [M1, M2] лежить у E2 (кожна його точка має хоч одну рацiональну координату), якщо x1 = x2 або y1 = y2, або ламана [M1 M3] [M3 M2], де M3 = (x1, y2) сполучає цi точки i лежить у множинi E2, якщо x1 6= x2, y1 6= y2. У випадку, коли серед координат точок M1 i M2 є одна iррацiональна (для означеностi x1, y1, x2 – рацiональнi, y2 – iрррацiональна), то або вiдрiзок [M1 M2] лежить у E2, якщо x1 = x2, або ламана [M1 M3] [M3 M2], де M3 = (x2, y1) сполучає цi точки i лежить в E2, якщо x1 6= x2. У випадку, коли у кожної з точок M1 i M2 по однiй iррацiональнiй координатi (для означеностi x1, x2 – рацiональнi, y1, y2 – iррацiональнi, то або вiдрiзок [M1 M2] лежить в E2, або ламана [M1 M3] [M3 M4] [M4 M2], де M3 = (x1, y3), y3

– рацiональне, M4 = (x2, y3) сполучає цi точки i лежить у E2. I коли у точок M1 i M2 x1, y2 – рацiональнi, x2, y1 – iррацiональнi, то ламана [M1 M3] [M3 M2], де M3 = (x1, y2), сполучає цi точки i лежить в E2.

Множина E3 незв’язна, бо вона вiдкрита, однак нiякi двi точки M1 = (x1, y1), M2(x2, y2), у яких x1, y2 – рацiональнi, y1, x2 –

155

iррацiональнi, не можна з’єднати ламаною, яка лежить в E3, i кожен вiдрiзок якої паралельний однiй з осей координат.

Множина E4 незв’язна, бо множини

A = {(x, y) | (x, y) E4, x < 0} B = {(x, y) | (x, y) E4, x > 0}

мають замикання

A = {(x, y) | x ≤ 0, y R}, B = {(x, y) | x ≥ 0, y R}

i

A ∩ B = A ∩ B = .

Зв’язнiсть множини E5 обгрунтовується точно так само, як i множини E2 Зауваження. Множини E2 i E5 є прикладом двох зв’язних

множин, перерiз яких не є зв’язною множиною. Приклад 4. Довести, що множина

E= {(x, y) | x R, y Q} {(x, y) | x = 0, y R}

єзв’язною, але не локально зв’язною.

Розв’язання. Оскiльки будь-якi двi точки M1 = (x1, y1), M2 = (x2, y2) можна сполучити вiдрiзком, якщо y1 = y2 або x1 = x2, ламаною [M1 M3] [M3 M2], де M3 = (0, y1), якщо x1 = 0 або x2 = 0, y1 6= y2, ламаною [M1 M3] [M3 M4] [M4 M2], якщо x1 6= 0, x2 6= 0, y1 6= y2, якi лежать у множинi E, то E – зв’язна множина.

Цей простiр не є локально зв’язним, бо якщо взяти точку (x◦, y◦) E, у якої x◦ 6= 0, i кулю B((x◦, y◦), r), де r < |x◦|, то не iснує зв’язної кулi, яка включається у задану. На заключення зауважимо, що у подальшому будь-яку вiдкриту зв’язну множину точок метричного простору Rn з евклiдовою метрикою будемо називати областю, а її замикання – замкненою областю. Область, будь-якi двi точки якої можна сполучити вiдрiзком прямої, який лежить у нiй, будемо назива-

ти опуклою областю.

156

Задачi для практичних занять i самостiйного розв’язування.

157

з) A = {(x, y) | |y − x| > 1}, B = {(x, y) | 2x2 + 2y2 = 1};

1.104 Довести, що коли зв’язна множина мiстить бiльше однiєї точки, то вона немає iзольованих точок.

1.105 Довести, що множина E точок метричного простору X зв’язна тодi i тiльки тодi, коли з двох роз’єднаних множин A i B, об’єднання яких дорiвнює E, обов’язково або A =, або B = .

1.106 Довести, що якщо множина E точок метричного простору X зв’язна, то для будь-яких роз’єднаних пiдмножин A i B простору X таких, що E A B,обов’язково або E A, або E B.

1.107 Довести, що коли E зв’язна множина у метричному просторi X i E A E, то A – зв’язна множина.

1.108 Нехай E1 i E2 – замкненi множини у деякому метричному просторi. Довести, що коли множини E1 E2 i E1 ∩ E2 зв’язнi, то E1 i E2 зв’язнi. Показати, що коли хоч одна з множин не є замкненою, то E1 i E2 не обов’язково зв’язнi.

1.109 Довести, що об’єднання двох непорожнiх зв’язних множин E1 i E2 у деякому метричному просторi є зв’язним

тодi i тiльки тодi, коли (E1 ∩ E2) (E1 ∩ E2) 6= .

1.110 Довести, що об’єданння зростаючої послiдовностi зв’я- зних множин є зв’язна множина.

159

160