metritchni_proct

B(0, 12) ∩ B 12, 12 = 32 − √e; √e − 1 .

Подамо останнiй iнтервал як кулю у заданому метричному просторi. А саме, знайдемо центр кулi та її радiус з рiвностi

коли m 6= n, то 1 < d(m, n) < 2. 1.45. Розв’язання. Очевидно,

що f1 A. А оскiльки кожна точка f, що належить кулi B(x2 − x − 1, 12) є неперервна на вiдрiзку [0; 1] функцiя, яка на цьому вiдрiзку задовольняє нерiвнiсть

x2 − x − 32 < f(x) < x2 − x − 12,

221

належить. Отже, точка f2 є одночасно i межовою, i граничною для множини A. 1.46. a)

A◦ = {(x, y) | − 1 < x < 1, −1 < y < 1 }, ∂A = {(x, y)| max(|x|, |y|) = 1},

A0 = A = {(x, y)| − 1 ≤ x ≤ 1, −1 ≤ y ≤ 1},

CA = {(x, y) | |x| ≥ 1 або |y| ≥ 1},

(CA)◦ = {(x, y) | max(|x|, |y|) > 1};

в) A◦ = , ∂A = A0 = A = R2, (CA)◦ = .

1.47. a) A {−1, 1}, {−1, 1}; в) [0; 1], [0; 1] \ Q;

д) A {(x, y) | (x+1)2+(y−1)2 = 4}, {(x, y) | (x+1)2+(y−1)2 = 4};

є) A {(0, 0)}, {(0, 0)}; з) A {(x, y) | x+y = 0}, {(x, y) | x+y = 0}.

1.48. Наприклад,

замкнена. Нехай x◦ гранична точка для множини ∂A i нехай x◦ 6 ∂A. Це означає, що будь-яка куля B(x◦, r) мiстить хоч одну граничну точку x0 ∂A. Тодi у кулi B(x0, ε) B(x◦, r) є точки з множини A i точки, якi їй не належать. А це означає, що будь-яка куля B(x◦, r) мiстить як точки з множини A, так i

222

точки, якi їй не належать, тобто x◦ ∂A. Цим i доведено, що всi граничнi точки множини ∂A їй належать, тобто ∂A замкнена. 1.50. Розв’язання. Якщо A0 A, то A A0 = A, а оскiльки A = A A, то A = A. Якщо A = A, то врахувавши, що всi межовi точки належать замиканню A, дiстанемо ∂A A. Якщо ∂A A, то припущення про те, що якась гранична точка не належить A, вiдразу приводить до протирiччя, оскiльки вона належить ∂A.

1.53. Розв’язання. Оскiльки A A, то d(x◦ A) ≤ d(x◦, A). З

другого боку, оскiльки d(x◦, A) = inf d(x◦, x), то для будь-якого

x A

ε > 0, зокрема для 2ε, iснує точка x0 A така, що d(x◦, x0) < d(x◦, A) + 2ε. Кожна точка замикання або належить множинi A, або є граничною для неї. Отже, iснує точка x00 з A така, що d(x0, x00) < 2ε, а вiдстань мiж x◦ i x00 задовольняє нерiвнiсть

d(x◦, x00) ≤ d(x◦, x0) + d(x0, x00) < d(x◦, A) + 2ε + 2ε = d(x◦, A) + ε.

Тодi d(x◦, A) = inf d(x◦, x) ≤ d(x◦, x00) < d(x◦, A) + ε. В силу

x A

довiльного вибору ε одержимо, що d(x◦, A) ≤ d(x◦, A). З не-

рiвностей d(x◦, A) ≤ d(x◦, A) i d(x◦, A) ≤ d(x◦, A) маємо, що

d(x◦, A) = d(x◦, A).

Рiвнiсть d(x◦, A) = d(x◦, A◦) не завжди має мiсце. Справдi,

223

бити висновок, що x [0; 1]. З включень

∞

[0; 1] \ −1 ; n + 1 [0; 1] n n

n=1

випливає, що

∞

\ −1 ; n + 1 = [0; 1]. n n

n=1

Таким чином, у даному випадку маємо, що перетин нескiнченного числа вiдкритих множин є множина замкнена.

Неважко переконатись, що

тобто об’єднання нескiнченного числа замкнених множин у даному випадку є множина, яка не є нi вiдкритою, нi замкненою. 1.57. Розв’язання. а) Нехай f довiльна точка з множини

A = {f | f◦ C[0;1]; f(x) < f◦(x) для всiх x [0; 1]}.

Очевидно, що функцiя g(x) = f◦(x) −f(x) неперервна на вiдрiзку [0; 1], а отже, досягає на ньому свого найменшого значення.

224

max |g(x)| > 1. Якщо g(0) 6= 0, то |g(0)| > 0 i жодна точка f з

А це означає, що g(x) не є граничною для множини A. Аналогiчно обгрунтовується, що g(1) = 1. Нарештi, якщо iснує точка x◦ (0; 1) така, що |g(x◦)| > 1, то число |g(x◦)| − 1 додатне i

належала, тобто множина A замкнена.

1.58. Розв’язання. Припустимо, що iснує метричний простiр X з метриками d1 i d2, якi задовольняють нерiвнiсть d2(x, y) ≤ λd1(x, y) для будь-яких точок x, y з X, i множина A, яка вiдносно метрики d2 вiдкрита, а вiдносно метрики d1 не є вiдкритою. Останнє означає, що iснує точка x◦ A, яка не є внутрiшньою точкою множини A вiдносно метрики d1. Тодi x◦ є межова точка множини A у метричному просторi (X, d1), i для кожного n N iснує точка xn X, але xn 6 A, така, що

сно метрики d2. Одержане протирiччя свiдчить про те, що наше припущення невiрне. А отже, кожна множина A вiдкрита вiдносно метрики d2 є вiдкритою вiдносно метрики d1. Нехай множина A замкнена вiдносно метрики d2, i нехай x◦ – гранична точка множини A вiдносно метрики d1 i x◦ 6 A. Тодi

226

для будь-якого n iснує точка xn A, що xn B(1) x◦, nλ1 . Але тодi xn B(2) x◦, n1 . Звiдси випливає, що будь-яка куля

B(2)(x◦, r) мiстить хоч одну точку з A, тобто що x◦ – гранична точка множини A вiдносно метрики d2. В силу замкненостi множини A вiдносно d2 x◦ належить A. Одержане протирiччя i доводить, що кожна гранична точка множини A вiдносно метрики d1 їй належить, тобто множина A замкнена вiдносно метрики d1. 1.59. Вказiвка. Скористатись 1.58. 1.60. Вказiвка. Скористатись нерiвнiстю d1 ≤ d2 ≤ 2d3 i 1.59. 1.62. Розв’язання. Нехай x◦ – довiльна фiксована точка простору X, i нехай

lim xn = x. Тодi числова послiдовнiсть (d(xn, x)) є нескiнченно

n→∞

малою, а отже, обмеженою, тобто iснує число M > 0 таке, що для всiх n

0≤ d(xn, x) ≤ M.

Здругого боку, для кожного n

d(xn, x◦) ≤ d(xn, x) + d(x, x◦) ≤ M + d(x, x◦).

А це й означає, що числова множина {d(xn, x◦) | n N} обме-

жена. 1.63. Вказiвка. Скористатись тим, що коли lim xn = x,

n→∞

з обмеженостi множини {d(xn, x) | n N} i нерiвностi

d(xm, xn) ≤ d(xm, x) + d(xn, x)

випливає обмеженiсть множини {d(xm, xn) | m, n N}.

1.64. Розв’язання. Нехай lim xn = x◦. Покажемо, що для

n→∞

кожного n |d(xn, A) − d(x◦, A)| ≤ d(xn, x◦). Справдi, оскiльки

d(x◦, A) = inf d(x◦, x), то для будь-якого ε > 0 iснує y A таке,

x A

що d(x◦, A) ≤ d(x◦, y) ≤ d(x◦, A) + ε або d(x◦, A) ≥ d(x◦, y) − ε. Тодi

d(xn, A) − d(x◦, A) ≤ d(xn, y) − d(x◦, y) + ε ≤ d(xn, x◦) + ε.

227

З останньої нерiвностi в силу довiльностi ε дiстаємо

d(xn, A) − d(x◦, A) ≤ d(xn, x◦).

Точно у такий саме спосiб обгрунтовується нерiвнiсть

d(x◦, A) − d(xn, A) ≤ d(xn, x◦).

Якщо у нерiвностi |d(xn, A) − d(x◦, A)| ≤ d(xn, x◦) перейти до

d(xn, yn) ≤ d(xn, a) + d(a, yn) ≤ d(xn, a) + d(a, b) + d(b, yn)

або

d(xn, yn) − d(a, b) ≤ d(xn, a) + d(yn, b).

З другого боку

d(a, b) ≤ d(a, xn) + d(xn, b) ≤ d(a, xn) + d(xn, yn) + d(yn, b)

або

d(a, b) − d(xn, yn) ≤ d(a, xn) + d(yn, b).

Отже, для будь-якого n

|d(xn, yn) − d(a, b)| ≤ d(xn, a) + d(yn, b).

1.66. Розв’язання. Необхiднiсть. Нехай x◦ є точкою дотикання множини A. Тодi або x◦ A i послiдовнiстю збiжною до точки

228

x◦ буде послiдовнiсть (x◦), або x◦ 6 A, тобто x◦ гранична точка множини A. Але тодi будь-яка куля B(x◦, r) мiстить точку

множини A. Якщо покласти r = 1, 12, . . . , n1 , . . . , , i позначити через xn ту точку множини A, яка належить кулi B x◦, n1 , то

d(x◦, xn) < 1 . А отже lim xn = x◦. I iснування послiдовностi

nn→∞

точок множини A збiжної до точки x◦ доведено.

Достатнiсть. Нехай для точки x◦ iснує послiдовнiсть (xn) то-

чок множини A така, що lim xn = x◦. Якщо послiдовнiсть

n→∞

(xn) фiнально стала, то, починаючи з деякого номера всi члени послiдовностi дорiвнюють x◦, а отже, x◦ A, i x◦ – точка дотикання множини A. Якщо ж послiдовнiсть (xn) не є фiнально сталою, то кожна куля B(x◦, r) мiстить хоч один член послiдовностi, вiдмiнний вiд x◦, а отже, x◦ є гранична точка множини A, i x◦ – точка дотикання множини A.

1.67. Вказiвка. В усiх випадках слiд показати, що числова по-

1.68.Вказiвка. Дивись вказiвку до 1.67.

1.69.Розв’язання. Оскiльки

229

збiгається як послiдовнiсть точок множини C[0, 1] з рiвномiрною метрикою, то вона має збiгатись рiвномiрно на вiдрiзку [0; 1] як функцiональна послiдовнiсть. А оскiльки для кожного x

230