metritchni_proct

Отже, для будь-якого ε > 0 iснує номер k◦ такий, що для всiх k > k◦ виконується нерiвнiсть d(xk, x◦) < ε. А це й означає, що кожна фундаментальна послiдовнiсть точок простору l2 є збiжною, тобто простiр l2 є повний. Приклад 5. Довести, що метричний простiр C[a;b] з рiвно-

мiрною метрикою є повним.

Розв’язання. Нехай послiдовнiсть (fn) точок метричного

з вiдрiзка [a; b]. Це означає, що фундаментальна послiдовнiсть (fn) рiвномiрно збiгається до деякої функцiї f◦ на вiдрiзку [a; b]. А оскiльки члени послiдовностi (fn) є неперервними на вiдрiзку [a; b] функцiями, то неперервною на цьому вiдрiзку буде i гранична функцiя f◦, тобто f◦ C[a;b]. Якщо врахувати, що рiвномiрна збiжнiсть послiдовностi неперервних на вiдрiзку [a; b] функцiй еквiвалентна збiжностi цiєї послiдовностi у просторi

з рiвномiрною метрикою, то звiдси випливає, що у цьому просторi фундаментальна послiдовнiсть (fn) збiгається. А це й означає, що простiр C[a;b] з рiвномiрною метрикою повний.

Можна довести (див. [21, c.38-39]), що простiр C[a;b] з метрикою

Z b 1 d(f, g) = |f(x) − g(x)|pdx p

a

є неповним для кожного p ≥ 1.

Як приклад, розглянемо простiр C[−1;1] з евклiдовою метрикою.

171

Приклад 6. Довести, що метричний простiр C[−1;1] з евклiдовою метрикою (p = 2) неповний.

Розв’язання. Вiдомо (див. задачу 1.125), що послiдовнiсть

(fn(x)), де

точок простору C[−1;1] з евклiдовою метрикою є фундаментальною. Покажемо, що у цьому просторi вона немає границi.

Припустимо, що iснує неперервна на вiдрiзку [−1; 1] функцiя f◦(x) така, що

Оскiльки функцiя sgnx iнтегровна на вiдрiзку [−1; 1], i для кожного n fn(x) неперервна на ньому, то для кожного n iснує iнтеграл

1

Z

(fn(x) − sgnx)2dx,

−1

причому

172

Однак для граничної функцiї f◦

1

Z

(f◦(x) − sgnx)2dx 6= 0,

−1

бо останнiй iнтеграл дорiвнюватиме нулю тодi i тiльки тодi, коли f◦(x) ≡ sgnx на вiдрiзку [−1; 1], що неможливо в силу неперервностi функцiї f◦(x) i розривностi функцiї sgnx. Скориставшись нерiвнiстю Мiнковського, маємо для кожного n

+(fn(x) − sgnx)2dx 2 ,

−1

тобто

1

≥(f◦(x) − sgnx)2dx 2 .

−1

Якщо в останнiй нерiвностi перейти до границi при n → ∞, то дiстанемо, що

1

−

173

тобто lim d(fn, f◦) 6= 0, що суперечить нашому припущенню.

n→∞

Таким чином, у просторi C[−1;1] немає точки, яка була б границею фундаментальної послiдовностi (fn). Цим доведено, що метричний простiр C[−1;1] з евклiдовою метрикою неповний. Розглянемо деякi ознаки, за якими можна розпiзнавати пов-

нi метричнi простори.

Теорема 7.3. Будь-яка замкнена множина F точок повного метричного простору X є повний метричний простiр.

Доведення. Нехай (xn) – довiльна фундаментальна послiдовнiсть точок метричного простору F . Якщо вона фiнально

стала, то очевидно збiжна i lim xn F . Якщо ж вона не є

n→∞

фiнально сталою, то з того, що (xn) фундаментальна у повно-

му просторi X, випливає, що вона збiжна. Нехай lim xn = x◦.

n→∞

Тодi точка x◦ є граничною точкою множини F , а оскiльки F замкнена, то x◦ F . Отже, кожна фундаментальна послiдовнiсть точок простору F збiжна, а це й означає, що вiн повний.

Теорема 7.4. Якщо метричнi простори (X, d1) i (Y, d2) повнi, то метричний простiр (X × Y, d), де

q

d((x1, y1), (x2, y2)) = d21(x1, x2) + d22(y1, y2)

d((x1, y1), (x2, y2)) = d1(x1, x2) + d2(y1, y2)

d((x1, y1), (x2, y2)) = max(d1(x1, x2), d2(y1, y2)),

повний.

Доведення. Нехай (xn, yn) будь-яка фундаментальна послiдовнiсть точок простору (X × Y, d). Тодi для будь-якого ε > 0 iснує номер n◦ такий, що для всiх n > n◦ i для будь-якого натурального p виконується нерiвнiсть

q

d((xn, yn), (xn+p, yn+p)) = d21(xn, xn+p) + d22(yn, yn+p) < ε.

174

А оскiльки для будь-яких (x1, y1), (x2, y2) X × Y d1(x1, x2) ≤ d((x1, y1), (x2, y2)),

d2(y1, y2) ≤ d((x1, y1), (x2, y2)),

то за цих же умов

d1(xn, xn+p) < ε, d2(yn, yn+p) < ε,

тобто послiдовностi (xn) i (yn) є фундаментальними вiдповiдно у просторах X i Y . В силу їх повноти цi послiдовностi збiжнi. Нехай

Отже, для будь-якого ε > 0 iснує номер n◦ такий, що для всiх n > n◦ виконується нерiвнiсть

d((xn, yn), (x◦, y◦)) < ε,

а це й означає, що послiдовнiсть (xn, yn) збiжна. I повнота простору X × Y доведена. Центральним фактом у теорiї повних метричних просторiв є аналог теореми Кантора (аксiоми при побудовi теорiї дiйсних

чисел за Кантором) про стяжну систему вкладених вiдрiзкiв.

175

Теорема 7.5. (принцип вкладених куль) У повному метричному просторi для кожної спадної послiдовностi замкнених куль, радiуси яких прямують до нуля, iснує єдина точка, яка належить всiм кулям послiдовностi.

Доведення. Нехай (B(xn, rn)) спадна послiдовнiсть замкнених куль у повному метричному просторi (X, d), для якої

lim rn = 0. Розглянемо послiдовнiсть (xn) центрiв куль. Оскiль-

n→∞

ки для кожного n i будь-якого натурального p

B(xn+p, rn+p) B(xn, rn),

то xn+p B(xn, rn) i d(xn, xn+p) ≤ rn. Якщо врахувати, що для будь-якого ε > 0 iснує номер n◦ такий, що для всiх n > n◦ виконується нерiвнiсть rn < ε, то для будь-якого n > n◦ i будь-якого натурального p буде виконуватись нерiвнiсть d(xn, xn+p) < ε. Таким чином послiдовнiсть центрiв куль є фундаментальною, а отже, в силу повноти метричного простору збiжною.

Нехай lim xn = x◦, i нехай B(xn, rn) довiльна замкне-

n→∞

на куля iз заданої послiдовностi. Тодi у цiй кулi мiститься безлiч членiв послiдовностi (xn) (за виключенням, можливо, x1, x2, . . . , xn−1), i тому точка x◦ є точкою дотикання множи-

ни B(xn, rn), причому в силу замкненостi останньої точка x◦ їй

суперечить нашому припущенню, i тому x◦ єдина точка, яка належить всiм кулям заданої послiдовностi. Виявляється, що непорожнiй перетин будь-якої спадної послiдовностi замкнених куль, радiуси яких прямують до нуля, є

176

не тiльки необхiдною, але й достатньою умовою повноти метричного простору.

Теорема 7.6. Для того, щоб метричний простiр був повним, необхiдно i достатно, щоб будь-яка спадна послiдовнiсть замкнених куль, радiуси яких прямують до нуля, мала непорожнiй перерiз.

Доведення достатностi. Нехай у метричному просторi (X, d) кожна спадна послiдовнiсть замкнених куль, радiуси яких прямують до нуля, має непорожнiй перерiз, i нехай (xn) фундаментальна послiдовнiсть точок цього простору. Тодi для

ε = 12 iснує номер n1 такий, що для всiх p N

1 d(xn1+p, xn1 ) < 2,

1

для ε = 22 iснує номер n2 > n1 такий, що для всiх p N

1

d(xn2+p, xn2 ) < 22 , . . . ,

1

для ε = 2k iснує номер nk > nk−1 такий, що для всiх p N

1

d(xnk+p, xnk ) < 2k , . . .

Кожен член пiдпослiдовностi (xnk ) фундаментальної послiдов-

1

ностi (xn) вiзьмемо за центр кулi радiуса 2k−1 . Дiстанемо послiдовнiсть

177

замкнених куль, радiуси яких прямують до нуля. Покажемо, що вона є спадною, тобто що для кожного k

1 d(xnk , xnk+1 ) < 2k .

1

Тодi для кожного x B(xnk+1 , 2k )

Згiдно умови iснує точка x◦, яка належить всiм кулям цiєї послiдовностi, причому послiдовнiсть центрiв цих куль збiгається до цiєї точки. А якщо якась пiдпослiдовнiсть фундаментальної послiдовностi є збiжною, то буде збiжною i сама послiдовнiсть. Цим повнота простору (X, d) доведена.

Зауважимо, що вимога збiжностi до нуля послiдовностi радiусiв замкнених куль, як показує наступний приклад, iстотна.

Приклад 7. Показати, що метричний простiр (N, d), де

є повним i побудувати спадну послiдовнiсть замкнених куль, яка має порожнiй перерiз.

178

Розв’язання. Оскiльки за означенням вiдстань мiж двома рiзними точками цього простору бiльша 1, то фундаментальними у ньому є тiльки фiнально сталi послiдовностi, якi очевидно збiжнi. Отже, простiр (N, d) повний.

Розглянемо послiдовнiсть замкнених куль B(n, 1 + n1 ) , у якiй

У п’ятому параграфi було подано (див. теореми 5.4 i 5.6) два критерiї компактностi множини точок метричного простору. Розглянемо ще один критерiй, у якому iстотно використовується повнота.

Нехай маємо метричний простiр (X, d), i нехай A деяка пiдмножина цього простору, а ε – довiльне додатне число.

Означення 7.3. Множина B точок метричного простору X називається ε – сiткою для множини A, якщо для будьякої точки x A у множинi B знайдеться точка y така, що d(x, y) ≤ ε.

Наприклад, множина B = {(m, n) | m Z, n Z} є 1–сiткою для будь-якої пiдмножини точок метричного простору R2 з евклiдовою метрикою.

179

Означення 7.4. Множина A точок метричного простору X називається цiлком обмеженою, якщо для будь-якого ε > 0 у неї iснує скiнченна ε – сiтка.

Очевидно, що будь-яка цiлком обмежена множина є обмеженою. Справдi, якщо множина A цiлком обмежена, то у неї iснує скiнченна 1–сiтка, тобто така скiнченна множина N = {y1, y2, . . . , yn}, що для будь-якого x A iснує yk N таке, що d(x,yk) ≤ 1. Тодi очевидно, що

n

[

A = {x | d(x, yk) ≤ 1, x A},

k=1

тобто A подається як об’єднання скiнченного числа обмежених множин. А така множина обмежена (досить взяти кулю з центром у будь-якiй точцi множини A i радiусом 2n ).

У просторi Rn з евклiдовою метрикою i, навпаки, кожна обмежена множина є цiлком обмеженою. Однак уже у просторi l2 множина точок

A = {(1, 0, . . .), (0, 1, . . .), . . . , (0, 0, . . . , 0, 1, 0, . . .), . . .}

є обмеженою (всi точки знаходяться у кулi з центром у точцi (0)

i радiуса 2), але не цiлком обмежена, бо вiдстань мiж точками

√

цiєї множини дорiвнює √2, i якщо взяти ε < 22, то з простору

l2 не можна вибрати такої скiнченної множини N, що для будьякого x A iснує y N таке, що d(x, y) ≤ ε.

Теорема 7.7. Метричний простiр є компактним тодi i тiльки тодi, коли вiн є цiлком обмежений i повний.

Доведення. Необхiднiсть. Якщо метричний простiр є компактом, то вiн обов’язково повний. Припустимо, що iснує компакт (X, d), для якого при деякому ε◦ > 0 не знайдеться скiнченної ε◦ – сiтки. Нехай x1 X. Тодi iснує точка x2 X така,

180