для первого курса / для первого курса / Ответы по вышке / Ответы по вышке / интегралы / 12. Приложение интегралов и свойства определенных интегралов
.pdf
Приложение интегралов и свойства определенных интегралов.
1. |
Непосредственно вычисляют меры. |
− |
|
|||||||||||||
Длинна кривой L: |
|
|
= = |
|
||||||||||||
Длинна отрезка аb вычисляется с помощью одномерного интеграла: |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Площадь правильной области: = |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Объем тела: |
|
|
= = |
|
||||||||||||
2. |
Площадь фигуры тела. |
= |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
(1) |
= ( ) |
|
|||||||||||
|
= ( ) |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
′ |
( ) |
|||
|
(2) |
|
= ( ) = ( ) |
|
||||||||||||
|
|
[ 1, 2 |
] |
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
2 |
||||
|
(3) |
= ( ) |
= |
|||||||||||||
Площадь можно вычислить [ ; ] |
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
= ∫ |
|
|
|
||||||||
|
|
|
так же с помощью двойного интеграла. |
|||||||||||||
Если функция задана в |
|
(4) |
( , ) = 1 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
(5) |
= |
|
|||||||||||
|
|
полярной системе координат, то |
||||||||||||||
3. |
Вычисление длинны дуги. |
= ( )2 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
= |
1 + ′ |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
(1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|||
|
|
= 1 + |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
= ( ) |
|
|
2 |
|
|
|
||||
В параметрическом виде: |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
= |
2 ( ) |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
= |
|
|
′ |
+ ′ |
|
|
|
||||||
|
|
(2) = |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
′ |
+ ′ |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
В параметрическом виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
2 |
+ ′ |
2 |
|
(3) = |
|
|
||
Для пространственной кривой = |
|
|
|
|
4. Объем тела вычисляются(1) =: ( , ) (2)
Существуют еще формулы для тел вращения и по площади поперечного сечения.
5. Работа силы по перемещению некоторых материальных точек.
(1) = ( ) (2) = = + +
6. Вычисление массы тела:
1. Если тело представляет=собой( кривую, , )
2. Если тело имеет форму=платину( , )
3. Если тело представляют= собой( , ,некую) пространственную фигуру.
С помощью интегралов вычисляют так же момент инерции, координаты центра тяжести и многие физические величины.