для первого курса / для первого курса / Ответы по вышке / Ответы по вышке / интегралы / 06. Двойной Интеграл

Двойной Интеграл.

Двойной интеграл определяется для ограниченной области. Пространства

R2

Мы знаем, что любой интеграл представляет собой предел интегральной суммы, который составляется по определенному алгоритму:

1. Разбиваем область на элементарные частицы произвольным образом. ∆Si D

2. На этой частичке выбираем точку Pi(xi;yi) ∆Si

3. Вычисляем произведение функции в некоторой точке4f(Pi)*. ∑∆Si=1 f(Pi) ∆Si где т число элементарных частиц

в области D = f(Pi) ∆Si

∆Si =1∆xi ∆yi

Если мы вычислим предел от интегральной суммы, то он не будет зависеть ни от способа разбиения области D на элементарные частицы, ни от выбора

z=f(x,y), мы должны перейти к пределу в равенстве, при условии n→∞, ∆Vi→0.

= ( , )

Что бы перейти к вычислению двойного интеграла, необходимо сформулировать некоторые определения.

Определение 1. Область называется правильной в направлении оси Оу, если всякая прямая , параллельная оси, проведенная через внутреннюю точку области, пересекает границу области ровно два раза.

Определение 2. Область правильная в направлении обеих осей, называется правильной.

Можно доказать, что всякая область, ограниченная простой кривой, может быть разбита на несколько правильных областей.

Определение 3. Кривая называется простейшей, если она состоит из нескольких частей, определяемых уравнением вида: y=ϕ(x) или х=ψ(у) где функции непрерывны.

каждой их правильных областей вычислять двойной интеграл.

двойной интеграл требует повторного двукратного интегрирования. Начинаем всегда интегрировать с внутреннего интеграла, который после подстановке внешнего предела интегрирования, превращается в определенный интеграл.