для первого курса / для первого курса / Ответы по вышке / Ответы по вышке / интегралы / 11. Формула Грина
.pdfФормула Грина устанавливает связь между криволинейным интегралом по длине L и двойным интегралом по области Д, которая ограничена заданной кривой L.
Теорема Пусть Д – правильная область, а функции P(x,y), Q(x,y)
непрерывные функции вместе со своими производными ∂P/∂y; ∂Q/∂x в области Д. |
|||||
Можно |
|
|
|
|
(20) |
|
+ = |
− |
|||
Согласно Формуле Д: |
|
|
|
||
|
применять формулу (20) и для двухсвязных области, двойной |
||||
интеграл при этом |
не меняется. Рассмотрим |
вопрос о независимости |
|||
криволинейного интеграла от формы кривой интегрирования. С этой целью сформулируем теоремы.
Теорема 1. Для независимости криволинейного интеграла от формы кривой интегрирования необходимо, что бы циркуляция векторного поля равнялась 0 по любому замкнутому контуру L.
Теорема 2. Для независимости криволинейного интеграла от формы кривой
интегрирования необходимо и |
достаточно что бы выражение Pdx+Qdy |
+ |
= = ( ) − ( ) (21) |
представляло бы собой полный дифференциал некоторой функции U. |
|
Если векторное поле является градиентом некоторого скалярного поля U, то криволинейны интеграл не зависит от формы кривой интегрирования. Такие векторные поля называются потенциальными.