для первого курса / для первого курса / ВЫШКА / 19. Прямая линия в пространстве

Прямая линия в пространстве

В трехмерном пространстве требуется провести прямую линию через заданную точку М0

Что бы решение было однозначным необходимо задать направляющий вектор этой прямой S. Пряма я проходит параллельно этому вектору или колленирна этому вектору. Выберем еще одну точку М(x,y,z) и проведем вектор OMс координатами (x,y,z).

Рассмотрим треугольник М0МО. Если считать М0М вектором, то r0 так же вектор и следовательно r0+ М0М=r.

Сам вектор М0М параллелен вектору S и следовательно М0М=tS где t R, то есть вектора М0М и S коллениарны:

– векторное уравнение прямой в пространстве. Где r0 радиус

точки М0 Мы получили векторное уравнение прямой в пространсве.

Если учесть проекции векторов, в координатах в уравнении (1), то уравнение 1 можно представить системой из 3-х скалярных уравнений.

(2)

Мы получили систему 2, которая равносильна уравнению 1.

Система 2 носит название параметрический уравнений прямой линии. Где t в данных уравнениях носит название параметр и принимает различные постоянные значения. Что бы получить каноническое уравнение прямой линии нужно из уравнение 2 исключить параметр t. Тогда выражаем этот параметр из всех 3 уравнений

От сюда следует что каноническое уравнение прямой линии имеет вид.

если прямые параллельны, то и направленные векторы будут параллельны, значит S1IIS2 и m1/m2=n1/n2=p1/p2 то есть коэффициенты направленных векторов будут пропорциональны.

Если прямые перпендикулярны относительно друг друга то скалярное произведение будет равняться 0. m1*m2+n1*n2+p1*p2 =0

Что бы задать уравнение прямой проходящей через 2 точки М1 и М2, необходимо 1 точу зафиксировать, и считать вектор М1М2 , направляющим и прямая проходит через эти 2 точки.

S= (x2-x1; y2-y1; z2-z1) и тогда каноническое уравнение приобретает вид

Если мы захотим определить угол между 2-мя прямыми, то он будет равен углу мужду направляющими векторами этих прямых .

Необходимое и достаточное условие нахождения 2 прямых, заданных каноническими уравнениями в одной плоскости является условие компланарности двух прямых.

Нахождение определителя прямой.

1)Если в определителе все строки пропорциональны то прямые совпадают.

2)Если направляющие вектора имеют пропорциональные координаты то прямые параллельны

3)Если определитель равен 0 то прямые пересекаются

4)Если определитель отличен от 0 то прямые скрещиваются.

Прямая может быть задана как линяя пересечения 2 плоскостей

A1 x B1 y C1 z D1 0,A2 x B2 y C2 z D2 0,

Система определяет прямую которая является линей пересечения этих плоскостей..