Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Скачиваний:
48
Добавлен:
08.06.2015
Размер:
158.66 Кб
Скачать

Плоскость.

Рассмотрим трехмерное пространство.

Возьмем произвольную точку М(x,y,z) Если соединить произвольную точку м с началом координат неким радиус вектором r то r=OM=(x,y,z)

Что бы задать плоскость в трехмерном пространстве необходимо знать следующие величины:

1.Единичный вектор , направленный ар нормали к плоскости.

2.Задать расстояние р =0 от начала координат до плоскости.

Вектор OQ равняется произведению нулевого вектора n на расстояние р и тогда

RM=OM-OR=r-pn

Для того что бы точка м лежала на заданной плоскости, необходимо и достаточно что бы ОМ была ортогональна OR. То есть перпендикулярна. А если вектора ортогональны то их скалярное произведение =о RM*n=0 от сюда следует что (r-pn)*n=0 а так как n*n=InI2=1 то r*n –p=0 – уравнение плоскости в векторном виде в нормально форме.

Уравнение называется нормальным, т.к. в него входит нормаль. Вспомним, что единичным направленный вектор n0 в качестве координат

имеет направляющих косинусы n0=(cos , cos , cos ). Если мы в формуле 1 распишем скалярное произведение r*n0 через их координаты, то получим уравнение плоскости в нормальном виде в координатной плоскости cos *x+ cos

*y+cos *z-p=0 (2)

Получим формулу (2) в координатном виде одну и ту же плоскость можно выразить уравнение в разной форме.

Очень часто записываеться уравнение плоскости в общей форме

(3) A,B,C,D- свободные коэффициенты.

Похожесть уравнений 2 и3 неслучайно. Разница в них только в величинах коэффициентов.

Что бы преобразовать уравнение 3 к уравнении 2 проведем следующие действия.

Умножим каждое слагаемое уравнение 3 на некий множитель М

MAx+MBy+MCz+MD=0

Если мы потребуем что бы произведения были равны косинуса МА=cos , МВ=cos ,МС=cos МД=-Р (4) то произведение можно считать направляющими косинусами, а это значит что сумма их квадратов будет равняться 1. От сюда мы получаем следующее выражение:

(6)

Эта величина М называется нормирующим множителем и при этом учитывается равенство (5), мы должны выбирать знак противоположный знаку Д.

Таким образом уравнение (3) преобразовывается с помощью нормирующего множителя М к уравнению вида (2)

Рассмотрим вектор N, Состоящий из координат (А,В,С). Согластно предыдущим выводам

МN=n0-так как координаты n0

n0=(cos , cos , cos ) МN =(МА, МВ,МС)

Следовательно вектор N направлен по направлению по паралели к плоскости коэффициенты при неизвестных (А,В,С) являются координатами нормали к плоскости. N=(А,В,С)Отмети частные случаи расположения плоскости относительно системы координат.

1.D=0 это значит что уравнение плоскости проходит через начало координат. Ax By Cz 0

2.А=0 то By Cz D 0 это значит вектор нормали имеет координаты

N=(0,В,С) i , то есть этот вектор i, то есть сама плоскость будет параллельна оси абсцисс.

3.А=D=0 By Cz 0 это значит что ось проходит через ось абсцисс.

Аналогичный случай когда В=D=0 – ось ординат С=D=0 ось опликат

4. А=B=0 , то есть z=-D/С – некая постоянная величина это значит что плоскость перпендикулярно оси аппликат, аналогично случаи когда другие пары координат при неизвестных равны.

5. И наконец, если 3 коэффициента равны 0 ,Cz 0 , то есть z=0 уравнение координатной плоскости ХОУ и соответсвено Х=0 у=0

Очень часто при решении задач требуется записать уравнение связи плоскости, то есть множество плоскостей проходящих через заданную точку. M1(x1,y1,z1) В этом случае уравнение имеет следующий вид:

A x x0 B y y0 C z z0 0 (8) уравнение связи плоскости.

Если раскрывать скобки в этом уравнение то мы получим уравнение плоскости в общем виде(3) коэффициент D мы получаем за счет остальных слагаемых.

Можно записать такие уравнения плоскости в отрезках

ax by cz 1 где a 0 , b 0 , c 0 . А,В,С, - следы плоскости. Запишем уравнение плоскости проходящей через 3 точки.

M1 x1 , y1 , z1 , M 2 x2 , y2 , z2 и M3 x3 , y3 , z3

Значит эти 3 вектора должны быть комплонарны то есть М1М*М2М*М3М=0 И получаем Определитель 3 порядка из этих векторов, где строки

являються координатами исходных векторов.

x x1

y y1

z z1

 

 

x2

x1

y2

y1

z2

z1

0 (10) Формула 10 уравнение плоскости , проходящих

x3

x1

y3

y1

z3

z1

 

через 3 точки Все что то мы сейчас проделываем в трехмерном пространстве для

получения уравнении плоскости в различных видах можно обобщить для н- мерного пространства. В частности уравнение гиперплоскости запищим в виде

Rn: A1*x*+A2*x2+…+An*Xn+B=0 (11)

Где N=(A1,A2,…,An) вектор нормали этой плоскости составленный из n координат.

И только уравнение (1) в Векторном виде останеться неизменным в любом пространстве. Это говорит о свойстве инвариантности векторного уравнения плоскости.

При решении задач часто требуется определить расстояние от точки до

плоскости