для первого курса / для первого курса / ВЫШКА / 2.Логические высказывание

Высказывание - повествовательное предложение (утверждение, суждение), относительно которого имеет смысл говорить, истинно оно или ложно. Высказывания могут быть выражены с помощью слов, а также математических, химических и прочих знаков. Как правило, высказывания обозначают заглавными буквами латинского или русского алфавита. Если высказывание А истинно, то записывают А — «и», если ложно, то А - «л».

Элементарное высказывание - высказывание, которое нельзя разложить на отдельные части, являющиеся самостоятельными высказываниями.

Абсолютно истинное высказывание - высказывание, истинное -при любых значениях истинности, входящих в него элементарных высказываний. Обозначается «И».

Абсолютно ложное высказывание - высказывание, ложное при любых значениях истинности, входящих в него элементарных высказываний. Обозначается «Л».

Равносильные {эквивалентные) высказывания - высказывания, которые одновременно истинны или одновременно ложны при любых значениях истинности входящих в них элементарных высказываний, при этом записывают: А - В (читается «А равносильно В» или «А эквивалентно В»).

Высказывательная форма - предложение с одной или несколькими переменными, которое обращается в высказывание при подстановке в него конкретных значений переменных. Например, «число х > 6» - высказывательная форма.

Образование составного высказывания из элементарных называется логической операцией.

Отрицанием некоторого высказывания р называется такое высказывание, которое истинно, когда р ложно, и ложно, когда р истинно. Обозначается отрицание высказывание р символом J? , читают «не р» или «неверно, что/ч». Определение отрицания можно записать в виде следующей таблицы, которую называют таблицей истинности.

Таблица истинности — таблица, с помощью которой устанавливается истинное значение сложного высказывания при данных значениях входящих в него простых высказываний.

Итак, конъюнкцией двух высказываний р и q называется высказывание, истинное тогда и только тогда, когда истинны оба высказывания.

Конъюнкция обладает следующими свойствами: 1) свойство коммутативности, т.е. p q= q р;

2)свойство ассоциативности, т.е. (р q) т - р (q т);

Итак, дизъюнкцией двух высказываний р и q называется высказывание, истинное тогда и только тогда, когда истинно хотя бы одно из высказываний р или q.

Другими словами, дизъюнкция ложна тогда и только тогда, когда ложны оба высказывания р или q и истина во всех остальных случаях.

Дизъюнкция обладает следующими свойствами:

1)свойство коммутативности, т.е. р v q — q v p;

2)свойство ассоциативности, т.е. (р v q) v m - p v (q v m);

m =( pvm) (q v m):

Итак, импликацией двух высказываний p и q называется высказываниеc p => q, ложное тогда и только тогда, когда р истинно, a q ложно.

Операция импликация двух высказываний может быть выражена через операции

отрицания и дизъюнкции, т.е. для любых двух высказываний /;ия имеет место равенство:

Равносильность данного равенства можно установить при помощи таблицы истинности.

Итак, эквиваленцией двух высказываний рад называется высказывание, истинное тогда и только тогда, когда оба высказывания р и q истинны или ложны одновременно (т.е. если одно из этих высказываний истинно, а другое ложно, то эквиваленцию считают ложной).