для первого курса / для первого курса / ВЫШКА / 39.Дифференциал отображения
.pdf
Дифференциал отображения. Дифференциал и производная числовой функции одной переменной. Таблица производных. Дифференцируемость.
Определение. Отображением х у называется линейным, если оно удовлетворяет свойствам: адитивности и однородности.
1)f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)
2)f(kx) = kf(x) при к = const
При изучении любого отображения, основной вопрос заключается в том, как изменяется у, при изменении х.
Это выясняется с помощью приращения отображения. y=f(x) ; x + х
f( x + х) ; f (x + х)-f(x)= х (1)
Приращение у = ( x , х) функции, является функцией 2-х переменных. Для линейного отображения
(1) : у = f(x) +f( x) – f(x) = f( х)
Для линейного отображения приращение функции у будет за висеть только от одной переменной х
у = f( х)
Учитывая простоту и наглядность линейных отображений, стараются выполнить приближенную замену заданного отображения линейным.
Допустим, что при х < Е (некоторое малое число), тогда приращение отображения можно представить в виде: у = dy + 0( х)(3)
dy=dy( x,x)-этолиненое,относительное хотображениеdy=dy( x,x) Y
0( х) - величина высшего порядка по по сравнению с х, которую можно считать достаточно малой и оценивать ее как погрешность, возникающую при заме не приращения отображения его дифференциалом dу
y dy(4)где dy–дифференциалотображения
Определение: Отображение, для которого существует дифференциал, т.е. выполняется равенство (3), называется дифференциальным.
Понятие дифференцируемости рассматривают как для отдельных точек пространства X, так и для его подмножеств.
Сформулированные общие понятия дифференцируемости применяющихся для различных видов отображения.
Рассмотрим знакомую функцию у = f(x)
Линейное относительно х: отображение будет иметь дифференциал: dy = а(х)* х где а(х) коэффициент, как постоянный так и зависимый.у = а(х)* х +0( х) разделим на ху/ х= (а(х)* х)/ х+0( х)/ х, найдем предел данного отношения.
|
|
( ) |
|
|
( ) |
||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
( |
) |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
||||
Из полученного выражения видим, что предел отношения приращения правой функции к приращению аргумента, где х 0 равняется некоему коэффициенту а(х).
Из школьного курса знаем, что величина, стоящая в левой части равенства (3) называется производной, поэтому R=R.
Если мы назовем коэффициент а(х) производной а(х) = f(x). то получим знакомое определение
( )
тогда функция (1) для дифференцирования {
(1) : dy = f’(x)dx (5)
Так как х = dx
Поэтому дифференцируемость числовой функций одной переменной связана. Из равенства(5) равенство можно записать в виде
f’(x)=dy/dx=fdx/dx(6)
Рассмотрим геометрический смысл производной. Рассмотрим производную функции
y=f(x)
tg = y/ x
х 0
MLкасательная к кривой в точке М
MN (секущая) перейдет в (касательную) ML при Ах -> О
у' = tg = k угловой коэффициент касательной к кривой в заданной точке. dv=KL
y = KN 0( x) = NL dy = y + 0( x) KL=KN+NL
Геометрический дифференциал понимается как приращение ординаты касательной к кривой.
Выпишем таблицу производной для функций одной переменной, которой в дальнейшим будем пользоваться.
1.C’=0
2.(k*f(x))=k*f’(x)
3.(U+V)’=U’+V’
4.(U*V)’=U’*V+V’*U
5.(u/v) =(U’*V-V’*U)/V2
6.Y=y(u) U=u(x) y’x=U’u=U’x
7.x’y=1/y’x
8. (Ua)’=a*U(a-1)*U’ (√ |
|
) |
|
|
( |
|
) |
|
|
|
|
||||
|
√ |
|
|
||||
|
|
9.Sin’u=cosU*U’
10.Cos’u=-sinU*U
11.Tg’u=(1/cos2U)*U’
12.Ctg’u=(1/sin2U)*U’
13.(aU)’=aU*Lna*U’(eU)’=eU*U’
14.
15.
16.
17.
18.
√
√
19.Показательно степенная (UV)’=UV*LnU*V’+V*U(V-1)*U’
20.Для параметрически заданных функций
{ |
( ) |
|
( ) |
||
|
y’x=y’t/x’t
Действие дифференцирование можно рассмотреть как оператор, т.е. при вычислении производной функция отображается функцию
D =d/dx оператор дифференцирования
Табличные правила 2 и 3 с помощью оператора D можно записать след образом:
2)D(kf)=kDf
3)D(f+g)=Df+Dg
Выполнение условия говорит о том, что оператор D- является линейным, т.к. выполняется условие адитивности (3) и условие однородности (2)
Класс функции непрерывен на отрезке аб вместе со своей первой производной. Это множество является линейным пространством.