для первого курса / для первого курса / ВЫШКА / 41. Вычисление производных и дифференциалов сложных функций
.pdfВычисление производных и дифференциалов сложных функций. Рассмотрим функцию двух переменных:
Z=z(x,y), заданную следующим образом. Z=f(U,V), где U=U(x,y), V=V(x,y). говорят, что записать (1) определяет сложную функцию 2-х переменных.
y=f(U) U=U(x), y’=y’U*U’x
Частная производная
z/ x=( z/ u)*( u/ x)+ ( z/ V)*( V/ x)(2)z/ y=( z/ u)*( u/ y)+ ( z/ V)*( V/ y)(3)
От куда полный дифференциал равняется dz=( z/ U)dU+( z/ V)dV(4)
при рассмотрении формулы (4) замечаем её инвариантность(независимость) Запишем правила дифференцирования сложных функции можно обобщать на случай
большого числа переменных.
z=f(u,v,w) u=u(x,y), v=v(x,y), w=w(x,y)
частная производная.
z/ y=( z/ u)*( u/ y)+ ( z/ v)*( v/ y)+( z/ w)*( w/ y)z/ x=( z/ u)*( u/ x)+ ( z/ V)*( V/ x)+( z/ w)*( w/ x)
Пусть в предыдущей функции w=y z=f(u,v,y) u=u(x,y), v=v(x,y)
тогда
dz/ y=( z/ u)*( u/ y)+ ( z/ v)*( v/ y)+( z/ y)
Можно рассмотреть сложную функцию 1-ой переменной z=z(x) z=f(u,v) u=u(x,y), v=v(x,y).
Тогда
dz/dy=( z/ u)*(du/dy)+ ( z/ v)*(dv/dy)