для первого курса / для первого курса / ВЫШКА / 32. теорема о предельном переходе в равенсве и не равенсве
.pdf38. Предельный преход в равенстве и неравенстве. Соединяя две переменные и
знаками равенства или неравенства, мы всегда подразумеваем, что речь идет о соответствуших значениях их, т. е. о значениях с одним и тем же номером.
1) Если две переменные , при всех их изменениях равны: причем
каждая из них имеет конечный пpeaeдел:
то равны и эти пределы: .
Непосредственно следует из единственности предела [36, 4)].
Этой теоремой пользуются обычно в форме предельного перехода в равентве: из заключают, что
2) Если для двух переменных всегда выполняется неравенство причем
каждая из них имеет конечный предел:
то и .
Допустим противное: пусть . Рассуждая так же как и в пункте 36, 4), возьмем число r между а и b, так что . Тогда, с одной стороны, найдется такой номер N’, что для будет с друrой же найдется и такой номер N’’, что для окажется .
Если N больше обоих чисел N’, N’’, то для номеров будут одновременно выполняться оба неравенства
что противоречит предположению. Теорема доказана.
Эта теорема устанавливает допустимость предельного перехода в неравенстве (соединенном с равенством): из можно заключить, что .
Конечно, знак всюду может быть заменен знаком .
Мы обращаем внимание читателя на то, что из строгого неравенства вообще говоря, не вытекает строгое же неравенство, а только, по-прежнему:
.
Так, например при всех n, и тем не менее
Из теоремы 2), как частный случай, может быть получено утверждение 3) пункт 36. При установлении существования и величины предела часто бывает полезна теорема:
3) Если для nеременных всегда выполняются неравенства
причем переменые стремятся к общему пределу a:
тo и nпеременная имеет тот же предел:
Зададимся произвольным . По этому ε прежде всего, найдется такой номер ’, что при
Затем найдется такой номер, , что при
Пусть будет больше обоих чисел ; тогда, при , выполняются оба предшествующих двойных неравенства, и потому
Окончательно при
Таким образом, действительно, .
Из этой теоремы в частности следует: если ,при всех n
и известно, что , то и . Впрочем, это очень легко доказать и непосредственно. Теоремы 1), 2) и 3) легко распространяются и на случай бесконечных пределов.