Запись уравнений состояния сети по законам Кирхгофа

Уравнения состояния электрической сети по законам Кирхгофа (2) и (11) связаны общим вектором искомых неизвестных ‑ токов ветвей Iи образуют систему изmуравнений сnнеизвестными

или, введя составные (блочные) матрицы, получаем

(20)

Матрицы соединений ,и диагональную матрицу сопротивлений ветвей можно представить в виде блоков для дерева и хорд схемы как в (3), (16):

(21) или, приняв обозначения

,;

запишем (21) как

(22)

Здесь – квадратная составная матрица коэффициентов системы уравнений порядкаm, содержит информацию об узловой и контурной моделях конфигурации сети в виде матриц ии о параметрах сетиZ_α , Z_; F – вектор-столбец правых частей системы уравнений – содержит ‑ задающие токи узлов и‑ ЭДС ветвей ‑ независимые заданные характеристики режима; – вектор-столбец неизвестных системы уравнений ‑ токи ветвей схемы ‑ искомые характеристики режима.

Уравнения (21), (22) решается относительно токов ветвей .

(23)

По найденному токораспределению и известному напряжению в балансирующем узлемогут быть найдены падения напряжения на ветвях и напряжения остальных узлов сети , . Таким образом, задача расчета режима в линейной постановке удовлетворительно решается по уравнениям Кирхгофа, однако для промышленных программ этот подход не применяется, так как порядок системы уравнений (22) и обращаемой матрицыA велик – равен числу ветвей схемы m. Для разработки промышленных программ расчета режимов применяются методы, приводящие к системам уравнений состояния с матрицами меньшей размерности – узловые методы или контурные методы расчета установившихся режимов электрических систем.

Метод уравнений узловых напряжений

Эти уравнения выводятся из выражения уравнений баланса токов в узлах по первому закона Кирхгофа (2). Для электрической сети в матричной форме записи

, (24) где – вектор‑столбец задающих токов узлов n-го порядка;

–вектор‑столбец искомых токов ветвей порядка m.

В общем случае из этого уравнения нельзя найти токораспределение , так как число уравнений равно числу узловn, а число неизвестных равно числу ветвей m. Выразим токи ветвей через падения напряжения на ветвях , принимая Е_в = 0 (что достаточно типично)

. (25)

Падения напряжения на ветвях, с использованиемI‑ой матрицы соединений , можно выразить через напряжения узлов электрической сети или , т.е. через вектор-столбец меньшей размерности, чем число ветвей:

(26) или

Здесь – транспонированнаяI-я матрица инциденций,

–вектор-столбец падений напряжений в узлах сети относительно базисного узла,

–вектор-столбец напряжений узлов электрической сети n-ого порядка,

(27)

‑составной вектор (n+1)-го порядка, содержащий n-ого порядка и напряжение в балансирующем узле .

Подставив в уравнение (24) токи ветвей из (25) и падения напряжения на ветвях сети из (26), получим:

(28)

Обозначим произведение трех матриц через :

(29)

–квадратная неособенная матрица n-го порядка. Её называют матрицей собственных и взаимных проводимостей узлов электрической сети – важнейшая матрица параметров в анализе электрических сетей.

С учетом подстановки формула (29) примет следующий вид

(30)

Выражение (30) представляет систему узловых уравнений установившегося режима электрической сети при задании нагрузок в токах.

Если выразить по (26) черезабсолютные значения напряжений узлов U =U^’+jU” U_у и подставить в (24), то получим

(31)

Произведение представляет собой матрицу , дополненную столбцом проводимостей между i-м и балансирующим узлами

, (32)где - столбец проводимостей ветвей, связывающих БУ со схемой.

С учетом (32) левая часть системы узловых уравнений (30) получит вид

(33)

Перенеся известное произведение в правую часть (31), получим систему узловых уравнений, составленную для напряжений узлов электрической сети

(34)

Замечаем, что обе системы узловых уравнений (30) и (34) имеют матрицы коэффициентов – матрицы узловых собственных и взаимных проводимостей.

Поскольку матрица узловых проводимостей для совокупности независимых узлов схемы невырожденная, то системы уравнений (30) и (34) могут быть решены (путем обращения этой матрицы или другим способом) относительно векторов зависимых переменных или

(35)

(36)

Нагрузки в узлах сети часто представляют через узловые задающие мощности.

(37)

Тогда

(38)

или

(39)

Из уравнений (38), (39) вытекает важное заключение: задача расчета установившегося режима электрической сети по природе своей нелинейная, поскольку в правой части в знаменателе также присутствуют неизвестные или. Системы нелинейных уравнений (38) – (40) могут разрешаться относительно искомых напряжений узлов аналогично (35) с организацией внешнего итерационного процесса коррекции задающих токовJ_у по узловым мощностям S_у и рассчитанным напряжениям (37).

Если напряжения узлов рассчитаны с желаемой точностью (по выражениям (35), (36) или какими-либо другими методами), то остальные параметры режима – токи ветвей I_в, потоки и потери мощности S_ij, Sij – определятся однозначно и точно.

Определение и характеристика матрицы узловых проводимостей

Матрица коэффициентов системы уравнений узловых напряжений Y квадратная (в силу способа ее получения) неособенная, симметрическая, n-ого порядка, для схем переменного тока имеет комплексные элементы или распадается на две вещественные матрицы Y = Y' - jY''. Для реальных схем электрических сетей матрица слабозаполненная. Из n² ее элементов только примерно 4n элементов являются ненулевыми (принимая, что число ветвей схемы m1,5n). При разработке алгоритмов и промышленных программ используют методы компактного хранения этой симметрической слабо заполненной матрицы, исключающие действия с нулевыми элементами. Это снижает требуемый объем памяти ЭВМ и повышает быстродействие программ, что остается актуальным и до настоящего времени, несмотря на большие ресурсы и быстродействие современных ЭВМ.

Получим матрицу узловых проводимостей для конкретной схемы электрической сети.

Рис. 2

(40)

(41)

Как видим, матрица узловых проводимостей Y_ ‑ квадратная, симметричная. Ее порядок равен числу узлов схемы (n+1). Ее побочные ‑ недиагональные элементы y_ij = y_ji . Каждый диагональный элемент матрицы узловых проводимостей представляет сумму побочных элементов строки (или столбца), взятую с противоположным знаком.

Матрица узловых проводимостей для схемы электрической сети, включающая балансирующий узел, обязательно вырожденная в силу способа ее получения, и это подтверждается простейшим анализом выражения (41) – сумма элементов строк или столбцов Y_yравна 0. Поэтому, когда в схеме назначается балансирующий узел, для которого не составляется узловое уравнение, (т.е. удаляется столбец и строка из матрицыY_y), то матрицаYобязательно оказывается невырожденной

При удалении строки, соответствующей балансирующему узлу, порядок матрицы Yпонижается на единицу. Для большинства строк матрицы имеет место

(42)

и только для узлов, имеющих связь с балансирующим, имеет место соотношение

,

то есть диагональный элемент оказывается больше суммы побочных элементов. Это обстоятельство имеет решающее значение для сходимости итерационных методов решения узловых уравнений. Здесь i,j– номера узлов, ограничивающих ветви с проводимостямиy_ij

Можно ветви и соответствующие их проводимости записать с индексами ветвей в массиве ветвей

Матрица узловых проводимостей содержит полную информацию о конфигурации и параметрах электрической сети и может быть составлена непосредственно по схеме сети, минуя процедуру перемножения матриц.

В общем случае для схемы переменного тока проводимости ветвей носят комплексный характер, и матрица Yимеет комплексные элементы.

Поэтому

(43)

Для схемы n-ого порядка в общем случае матрица узловых проводимостей получится:

Порядок выполнения лабораторной работы.

1. По своему варианту получить расчетную схему и параметры к ней

2. Сделать предварительный «ручной» расчет необходимых матриц (рисунки схем. их преобразование, сами расчеты занести в тетрадь «для допуска»).

3. В математическом пакете MATLAB произвести все необходимые расчеты, результаты расчетов показать преподавателю. Сравнить компьютерные результаты с «ручным» расчетом и нанести их на расчетную схему ЭСС.

4. Оформить и распечатать отчет с исходными данными. результатами расчетов и итоговыми матрицами. Подготовиться к защите отчета.

Расчетное задание.

1. Формирование схемы и нагрузок сети согласно варианту исходных данных. Составить схемы замещения электрической сети, определить её параметры и нагрузки в узлах.

2. Составить элементарные матрицы параметров режима сети.

3. Рассчитать матрицы узловых проводимостей и матрицы контурных сопротивлений.

4. Формирование уравнений установившегося режима электрической сети. Записать уравнения узловых напряжений при задании нагрузок в токах.

5. Записать контурные уравнений.