1.4.Основные законы распределения случайных величин в теории надежности

Случайные величины, с помощью которых определяются показатели надежности могут быть полностью определены, если известна функция плотности распределения. В свою очередь, функция плотности определяется на основе экспериментальных данных.

При этом возможны два подхода в исследовании:

• если необходимо выявить имеющиеся в действительности закономерности работы аппаратуры для принятия мер по повышению ее надежности, то необходимо иметь дело непосредственно с экспериментальными данными;

• при теоретических исследованиях различных аспектов надежности применяются известные теоретические распределения, которые определяются путем аппроксимации данных полученных экспериментально.

В настоящее время в теории надежности наиболее широкое распространение получили следующие законы распределения случайных величин: экспоненциальный, Релея, гамма, Вейбулла, нормальный, логарифмически-нормальный.

1.4.1. Экспоненциальный закон распределения

Этому закону подчиняются случайные величины, на которые оказывают влияние большое число факторов, среди которых есть доминирующий. Экспоненциальное распределение является распределением времени между событиями, появляющимися с постоянной интенсивностью. В теории надежности экспоненциальное распределение применяется для описания наработки сложных систем, прошедших период приработки.

Экспоненциальный закон очень популярен в теории надежности. Это объясняется тем, что экспоненциальный закон физически очень естественен, прост и удобен для использования. Почти все задачи, возникающие в теории надежности для этого закона распределения, оказываются на порядок проще, чем для других видов законов распределения.

Для экспоненциального закона имеем следующие зависимости:

(1.11)

(1.12)

(1.13)

(1.14)

(1.15)

где - параметр распределения.

Графики, характеризующие экспоненциальное распределение, показаны на рис. 2 а.

1.4.2. Закон распределения Релея

Данное распределение встречается при анализе надежности автоматизированных систем и технических процессов с резервированием элементов, узлов и технологического оборудования. Закон Релея может применяться с другими законами распределения при исследовании надежности аппаратуры, имеющей элементы с выраженным эффектом старения.

Основные характеристики имеют следующий вид:

, (1.16)

, (1.17)

, (1.18)

, (1.19)

(1.20)

Графики, характеризующие распределение Релея, показаны на рис. 2 б.

a) б)

Р и с. 2. Графики изменения показателей надежности

а- экспоненциальное распределение, б – распределение Релея

1.4.3. Нормальное распределение

Данное распределение – одно из наиболее часто встречающихся распределений в расчете надежности автоматизированных систем. Оно является предельным в том смысле, что к нему приближаются другие распределения при часто встречающихся типичных условиях. Нор­мальное распределение образуется как следствие однородности качества изделий и равномерности влияния внешних факторов.

Основные характеристики имеют следующий вид:

, (1.21)

, (1.22)

, (1.23)

, (1.24)

(1.25)

где – математическое ожидание случайной величиныt в генеральной совокупности испытаний;

σ – среднее квадратическое отклонение случайной величины t относительно математического ожидания.

Для практического использования соотношений (1.19)-(1.22) перейдём от случайной величины t к другой случайной величине z:

(1.26)

Функция распределения величины z:

(1.27)

В таблицах часто приводят значения не функции Ф(z), а несколько иной функции

(1.28)

Функции Ф(z) и Ф₀(z) связаны между собой соотношением:

(1.29)

Графики, характеризующие нормальное распределение, показаны на рис.3 а.