I способ
1. Вычислим определитель данной матрицы:
Так как определитель матрицы Аотличен от нуля, т.е.то данная матрица невырожденная и, следовательно, имеет обратную матрицу.
2. Транспонируем матрицу А:
.
3. Найдем присоединенную матрицу . Для этого вычислим алгебраические дополнения каждого элемента матрицыАТ:
Присоединенная матрица будет иметь вид
4. Так как , то можно записать обратную матрицу:
.
II способ
Обратную матрицу можно вычислить с помощью элементарных преобразований вспомогательной матрицы. Для этого необходимо следующее.
Составить вспомогательную матрицу, которая получается, если к исходной матрице приписать справа единичную матрицу того же размера.
Путем элементарных преобразований строквспомогательной матрицы получить в левой ее части вместо исходной единичную матрицу.
В правой части вспомогательной матрицы на месте единичной получится матрица, обратная данной.
Проверка
Задание2
Найти матрицу, обратную матрице .
Решение
I способ
1. Вычислим определитель данной матрицы:
Так как определитель матрицы Аотличен от нуля, т.е.то данная матрица невырожденная и, следовательно, имеет обратную матрицу.
2. Транспонируем матрицу А:
.
3. Найдем присоединенную матрицу . Для этого вычислим алгебраические дополнения каждого элемента матрицыАТ:
Присоединенная матрица будет иметь вид
4. Так как , то можно записать обратную матрицу:
.
II способ
Вычислим обратную матрицу с помощью элементарных преобразований вспомогательной матрицы.
Проверка
Задание3
Найти матрицу, обратную матрице .
Решение
I способ
1. Вычислим определитель данной матрицы:
Так как определитель матрицы Аотличен от нуля, т.е.то данная матрица невырожденная и, следовательно, имеет обратную матрицу.
2. Транспонируем матрицу А:
.
3. Найдем присоединенную матрицу . Для этого вычислим алгебраические дополнения каждого элемента матрицыАТ:
Присоединенная матрицабудет иметь вид
4. Так как , то можно записать обратную матрицу:
.
II способ
Вычислим обратную матрицу с помощью элементарных преобразований вспомогательной матрицы:
Проверка
Задание 4
Найти матрицу, обратную матрице .
Решение
I способ
1. Вычислим определитель данной матрицы:
Так как определитель матрицыАотличен от нуля, т.е.то данная матрица невырожденная и, следовательно, имеет обратную матрицу.
2. Транспонируем матрицу А:
.
3. Найдем присоединенную матрицу . Для этого вычислим алгебраические дополнения каждого элемента матрицыАТ:
Присоединенная матрицабудет иметь вид
4. Так как , то можно записать обратную матрицу:
.
II способ
Вычислим обратную матрицу с помощью элементарных преобразований вспомогательной матрицы:
Проверка
Задание5
Решить систему уравнений с помощью обратной матрицы:
Решение
Запишем данную систему уравнений в матричной форме или
Вычислим определитель матрицы :
.
Т.к. , следовательно, матрица- невырожденная и имеет обратную. Найдем матрицу, обратную матрице:
.
Тогда решение исходной системы уравнений найдем по формуле (3):
.
Проверка
Проверим правильность решения, подставив найденные значения неизвестных в исходную систему уравнений.
Т.к. уравнения данной системы при подстановке найденных значений обратились в тождества, следовательно, - решение исходной системы уравнений.
Ответ: .
Задание6
Решить систему уравнений с помощью обратной матрицы:
Решение
Запишем данную систему уравнений в матричной форме или
.
Вычислим определитель матрицы :
.
Т.к. , следовательно, матрица- невырожденная и имеет обратную. Найдем матрицу, обратную матрице:
.
Тогда решение исходной системы уравнений найдем по формуле (3):
.
Ответ: .
Задание7
Решить систему уравнений с помощью обратной матрицы:
Решение
Запишем данную систему уравнений в матричной форме или
.
Вычислим определитель матрицы :
.
Т.к. , следовательно, матрица- невырожденная и имеет обратную. Найдем матрицу, обратную матрице:
.
Тогда решение исходной системы уравнений найдем по формуле (3):
.
Ответ: .
Задание8
Решить систему уравнений с помощью обратной матрицы:
Решение
.
.
.
.
Ответ: .
Следующее задание выполните самостоятельно.
Задание9
Решить систему уравнений с помощью обратной матрицы:
Если при выполнении задания 9 у Вас получилось не (-2,1,0), то рассмотрите решение задания 9.
Решение задания 9.
.
.
.
Ответ: .