![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
I способ
1. Вычислим определитель данной матрицы:
Так как
определитель матрицы Аотличен от
нуля, т.е.то данная матрица невырожденная и,
следовательно, имеет обратную матрицу.
2. Транспонируем матрицу А:
.
3. Найдем
присоединенную матрицу
.
Для этого вычислим алгебраические
дополнения каждого элемента матрицыАТ:
Присоединенная
матрица
будет иметь вид
4. Так
как
,
то можно записать обратную матрицу:
.
II способ
Обратную матрицу можно вычислить с помощью элементарных преобразований вспомогательной матрицы. Для этого необходимо следующее.
Составить вспомогательную матрицу, которая получается, если к исходной матрице приписать справа единичную матрицу того же размера.
Путем элементарных преобразований строквспомогательной матрицы получить в левой ее части вместо исходной единичную матрицу.
В правой части вспомогательной матрицы на месте единичной получится матрица, обратная данной.
Проверка
Задание2
Найти матрицу, обратную матрице
.
Решение
I способ
1. Вычислим определитель данной матрицы:
Так как определитель матрицы Аотличен от нуля, т.е.то данная матрица невырожденная и,
следовательно, имеет обратную матрицу.
2. Транспонируем матрицу А:
.
3. Найдем присоединенную матрицу
.
Для этого вычислим алгебраические
дополнения каждого элемента матрицыАТ:
Присоединенная
матрица
будет иметь вид
4. Так как
,
то можно записать обратную матрицу:
.
II способ
Вычислим обратную матрицу с помощью
элементарных преобразований вспомогательной
матрицы.
Проверка
Задание3
Найти матрицу, обратную матрице
.
Решение
I способ
1. Вычислим определитель данной матрицы:
Так как определитель матрицы Аотличен от нуля, т.е.то данная матрица невырожденная и,
следовательно, имеет обратную матрицу.
2. Транспонируем матрицу А:
.
3. Найдем присоединенную матрицу
.
Для этого вычислим алгебраические
дополнения каждого элемента матрицыАТ:
Присоединенная
матрица
будет иметь вид
4. Так как
,
то можно записать обратную матрицу:
.
II способ
Вычислим обратную матрицу с помощью элементарных преобразований вспомогательной матрицы:
Проверка
Задание 4
Найти матрицу, обратную матрице
.
Решение
I способ
1. Вычислим определитель данной матрицы:
Так
как определитель матрицыАотличен
от нуля, т.е.
то данная матрица невырожденная и,
следовательно, имеет обратную матрицу.
2. Транспонируем матрицу А:
.
3. Найдем
присоединенную матрицу
.
Для этого вычислим алгебраические
дополнения каждого элемента матрицыАТ:
Присоединенная
матрица
будет иметь вид
4. Так
как
,
то можно записать обратную матрицу:
.
II способ
Вычислим обратную матрицу с помощью элементарных преобразований вспомогательной матрицы:
Проверка
Задание5
Решить систему уравнений с помощью обратной матрицы:
Решение
Запишем данную систему уравнений в
матричной форме
или
Вычислим определитель матрицы
:
.
Т.к.
,
следовательно, матрица
- невырожденная и имеет обратную. Найдем
матрицу, обратную матрице
:
.
Тогда решение исходной системы уравнений найдем по формуле (3):
.
Проверка
Проверим правильность решения, подставив
найденные значения неизвестных
в исходную систему уравнений.
Т.к. уравнения данной системы при
подстановке найденных значений
обратились в тождества, следовательно,
- решение исходной системы уравнений.
Ответ:
.
Задание6
Решить систему уравнений с помощью обратной матрицы:
Решение
Запишем данную систему уравнений в
матричной форме
или
.
Вычислим определитель матрицы
:
.
Т.к.
,
следовательно, матрица
- невырожденная и имеет обратную. Найдем
матрицу, обратную матрице
:
.
Тогда решение исходной системы уравнений найдем по формуле (3):
.
Ответ:
.
Задание7
Решить систему уравнений с помощью обратной матрицы:
Решение
Запишем данную систему уравнений в
матричной форме
или
.
Вычислим определитель матрицы
:
.
Т.к.
,
следовательно, матрица
- невырожденная и имеет обратную. Найдем
матрицу, обратную матрице
:
.
Тогда решение исходной системы уравнений найдем по формуле (3):
.
Ответ:
.
Задание8
Решить систему уравнений с помощью обратной матрицы:
Решение
.
.
.
.
Ответ:
.
Следующее задание выполните самостоятельно.
Задание9
Решить систему уравнений с помощью обратной матрицы:
Если при выполнении задания 9 у Вас получилось не (-2,1,0), то рассмотрите решение задания 9.
Решение задания 9.
.
.
.
Ответ:
.