КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ И

ПРИКЛАДНОЙ ИНФОРМАТИКИ

М.А. Евдокимов Л.Г. Волкова О.Н. Кузнецова

Определители и системы линейных уравнений

Учебное пособие для самостоятельной работы студентов

САМАРА

2008

Линейная алгебра

Определители и системы линейных уравнений

1. Определители 2^го порядка

Пусть дана система двух линейных уравнений с двумя неизвестными.

(1)

Решаем эту систему методом исключения неизвестных. Исключим у. Для этого первое уравнение умножаем наа₂₂, второе на –а₁₂, затем уравнения складываем, получаем после преобразований

.

Если , то можем найтих

. (2)

Число называется определителем 2^гопорядка и обозначается

.

Выражение, стоящее в числителе, тоже является определителем 2^гопорядка

.

Правило вычисления определителя 2^го порядка

Сначала об элементах определителя: .

1. - элемент определителя, стоящий вi-ой строке и вj-ом столбце,

2. i,j – индексы,

3. - элементыi-ой строки,

4. - элементыj-ого столбца,

5. - элементы главной диагонали,

6. - элементы побочной диагонали.

.

Примеры:

1) .

2) .

3) .

4) .

Аналогично методом исключения получим решение для у

. (3)

Видим, что структура формулы (3) такая же, что и у формулы (2), обозначив

,

получим формулы для решения системы

Это формулы Крамера, они дают единственное решение, если .

Пример.

Решить систему

1. Решение существует.

2. .

3. .

4. ;.

Формулы Крамера были получены из соотношений

(4)

полагая, что . Т.е.

или

.

Значит система имеет единственное решение если ее коэффициенты непропорциональны. Говорят, что система определенна.

Если , но хотя бы один из определителейилиотличны от нуля, то одно из равенств (4) невозможно, и система не имеет решения. Говорят, что системанесовместна.

Если , то это означает пропорциональность коэффициентов системы

.

Значит одно из уравнений получено из другого умножением на некоторое число т. И в действительности мы имеем одно уравнение с двумя неизвестными

. (5)

Такое уравнение имеет бесконечное множество решений, связанных с уравнением (5). Таким образом система совместна, но неопределенна.

Из (5) найдем .

Если обозначить , то– можно и так записать решение.

Рассмотрим выполнение заданий на вычисление определителей второго порядка и решение систем двух линейных уравнений с двумя неизвестными.

Задание 1

Вычислить определитель

Решение

Применяя формулу получим

.

Ответ: Δ = 2.

Задание 2

Вычислить определитель

.

Решение

Применяя формулу получим

.

Ответ: .

Задание 3

Вычислить определитель

.

Решение

Применяя формулу получим

.

Ответ: Δ = 1.

Задание 4

Вычислить определитель

.

Решение

Применяя формулу получим

.

Ответ: Δ = cos2α.

Задание 5

При каких значениях обращается в ноль определитель

?

Решение

Применяя формулу вычислим данный определитель

.

Следовательно, Δ = 0 при a = 2.

Ответ: a = 2.

Задание 6

Решить уравнение

.

Решение

Применяя формулу вычислим данный определитель

.

Следовательно, чтобы найти корни исходного уравнения, необходимо решить квадратное уравнение x² – 8x +12 = 0:

Ответ: x₁ = 6; x₂ = 2.

Задание 7

При каких значениях выполняется неравенство

?

Решение

Применяя формулу вычислим данный определитель

.

Получаем неравенство x² – 6x + 7> - 1 или x² – 6x + 8> 0. Квадратный трехчлен в левой части неравенства имеет корни x₁ = 4 и x₂ = 2. Следовательно, последнее неравенство можно записать в виде:

(x – 4)(x – 2)>0

Это неравенство выполняется для всех x>4 и x<2.

Ответ: .

Задание 8

Решить систему

Решение

Вычислим определитель системы:

.

Так как Δ = -5 ≠ 0, то система имеет единственное решение, которое можно найти по формулам Крамера:

Для этого вычислим определители Δ₁ и Δ₂:

; .

Следовательно,

Ответ: x₁ = 3; x₂ = -1.

Задание 9

Решить систему

Решение

Вычислим определитель системы:

.

Так как Δ = 0, то необходимо вычислить определители Δ₁ и Δ₂, чтобы решить вопрос о совместности системы.

Так как Δ₁ = -14 ≠ 0, то система несовместна (не имеет решения).

Ответ: Система несовместна.

Задание 10

Решить систему

Решение

Вычислим определитель системы:

.

Так как Δ = 0, то необходимо вычислить определители Δ₁ и Δ₂, чтобы решить вопрос о совместности системы.

и ,

потому что у этих определителей пропорциональны строки (свойство 6 определителей). Следовательно, система имеет бесчисленное множество решений.

Ответ: система имеет бесчисленное множество решений.

Следующее задание выполните самостоятельно.

Задание 11

Исследовать систему уравнений

Если при решении Вы получили следующий ответ:

1. при система имеет единственное решение

2. при , система имеет бесчисленное множество решений.

3. при и система несовместна,

то Вы решили правильно. В противном случае рассмотрите решение данного задания.

Решение задания 11.

Вычислим определитель системы

.

Так как Δ ≠ 0для все значений a, кроме a = -3, то система имеет единственное решение, которое можно найти по формулам Крамера:

Для этого вычислим определители Δ₁ и Δ₂:

.

Следовательно,

Если и , то , и система имеет бесчисленное множество решений.

Если же и , то , а и , т.е. система несовместна (не имеет решений).

Ответ:

4. при система имеет единственное решение

5. при , система имеет бесчисленное множество решений.

6. при и система несовместна.

2. Определители 3^го порядка

Определитель 3^гопорядка есть число, зависимое и вычисляемое следующим образом:

.

Для упрощения вычисления определителя имеется несколько схем.

1. Схема треугольников.

2. Схема Саррюса

3. Свойства определителей

Мы изучили свойства общие для определителей любого порядка. Но будем рассматривать их на примере определителя 3^гопорядка.

1с) Величина определителя не изменится, если его строки и столбцы поменять местами.

Такая операция называется транспонированием определителя и обозначается , таким образом

.

Проверить справедливость этого свойства можно вычислением определителя и.

.

Это свойство говорит о равноправии строк и столбцов определителя с точки зрения его свойств.

2с) При перестановке 2^хстрок (или столбцов) определитель меняет знак.

Проверка вычислением.

3с) Определитель с двумя одинаковыми строками (столбцами) равен нулю.

Доказательство:

Предположим и определитель равен. Переставими. Согласно 2с) определитель должен сменить знак, т.е. стать равным. Но строки равны и перестановка не должна сказаться на его величине, таким образом

,

а это возможно, если только .

4с) Общий множитель элементов строки (столбца) можно вынести за знак определителя.

Доказательство:

Предположим какая-либо строка, например 1^ая, имеет общий множитель, значит все элементы с первым индексом 1 имеют этот общий множитель. А элементы с таким первым индексом входят в каждое произведение выражения для вычисления определителя. Значит этот множитель входит в каждое произведение и его можно вынести за скобки или за знак определителя.

.

5с) Если все элементы некоторой строки (столбца) равны нулю, то определитель равен нулю.

Доказательство: вытекает из предыдущего свойства.

6с) Если соответствующие элементы 2^хстрок (столбцов) пропорциональны, то такой определитель равен нулю.

.

Введем понятие минора и алгебраического дополнения определителя.

Выделим в определителе 3^гопорядка элементи вычеркнемi-ую строку иk-ый столбец. Оставшиеся элементы образуют определитель второго порядка, который и называютминоромM_ikэлемента.

Например

.

Алгебраическое дополнениеэлементаопределяется выражением

.

Схема знаков для определителя 3^гопорядка.

Например

.

7с) Сумма произведений элементов некоторой строки (столбца) на алгебраические дополнения этих элементов равна величине определителя.

– это разложение по столбцуk.

– это разложение по строкеi.

Для определителя 3^гопорядка:

Пример.

.

Руководствуясь этим свойством, можно вычислить определитель любого порядка.

8с) Сумма произведений элементов некоторой строки (столбца) на соответствующие алгебраические дополнения элементов другой строки (столбца) равна нулю, т.е.

.

Доказательство:

В данной сумме не участвуют элементы строки j. Значит она (эта сумма) от этих элементов не зависит. Поэтому данную строку можно заменить на любую другую, например наi-ю строку, но такой определитель равен нулю.

9с) Пусть определитель имеет следующий вид:

, его можно записать в виде суммы 2^хопределителей

.

Доказать можно разложением по элементам первого столбца.

10с) Если к элементам некоторой строки (столбца) прибавить элементы другой строки (столбца) предварительно умноженные на одно и тоже число, то величина определителя не изменится.

0

.

Применяя это свойство, удается упростить вычисление определителя.

Пример.

.

Пользуясь этим свойством и разложением определителя по строке (столбцу) можно вычислять и определители более высоких порядков.

Пример.

.

4. Решение системы линейных уравнений с помощью определителей

Рассмотрим систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными.

(1)

.

;;. (2)

1) . Получаем формулы Крамера.

;;. (3)

Формулы (3) дают единственное решение системы. То, что это решение можно убедиться, подставив (3) в (1).

2) , но один из.

Система не совместна, т.к. (2) не выполняются.

3) . В этом случае система или не имеет решений, или имеет их бесчисленное множество. (Или несовместна, или неопределенна).

Рассмотрим выполнение заданий на вычисление определителей третьего порядка и решение систем трех линейных уравнений с тремя неизвестными.

Задание 1

Вычислить определитель

.

Решение

Воспользуемся правилом треугольников : найдем сумму произведений элементов по левой схеме

=3· (-4)·7 + 2·(-2) ·6 + 1·1·(-3) = -84 - 24 -3 = -111

и сумму произведений элементов по правой схеме

= 1·(-4)·2 + 1·(-2)·7 + 3·(-3)·6 = -8 - 14 -54 = -76.

Из первой суммы вычтем вторую и получим: Δ = -111 - (-76) = -111 + 76 = -35.

Ответ: Δ = -35.

Задание 2

Вычислить определитель

.

Решение

Воспользуемся правилом Саррюса . Припишем к данному определителю справа два его первых столбца:

.

Вычислим сумму произведе­ний элементов определителя, расположенных на главной диагонали и парал­лельно ей:

= = 11·1· (-2) + 2·2·(-5) + 3·(-4)·(-3) = -22 - 20 + 36 = -6.

и сумму произведений элементов, расположенных на побоч­ной диагонали и параллельно ей:

= (-5)·1·3 +(-3)·2·11 + (-2)·(-4)·2 = -15 - 66 + 16 = - 65.

Из первой суммы вычтем вторую и получим: Δ = -6 - (-65) = -6 + 65 = 59.

Примечание. Для вычислений можно воспользоваться калькулятором. Последовательность действий может быть следующей:

1. 11* 1* 2  М-  2*2*5  М- 3*4*3  М+ MRC -6

2. 5*1*3  M-  3*2*11  M-  2*4*2  M+  MRC -65

3. - 6 + 65 = 59

или 11* 1* 2  М- 2*2*5  М- 3*4*3  М+  5*1*3  M+  3*2*11  M+  2*4*2  M-  MRC 59

Ответ: Δ = 59.

Задание 3

Вычислить определитель, разложив его по элементам первой строки

.

Решение

Воспользуемся свойством 7 определителей:

= (-4)((-2)·2 – (-5)·6) + 3·(-1)(9·2 – 1·(-5)) + 2·(9·6 - 1·(-2)) =

= (-4)(-4 + 30) – 3(18 + 5) + 2(54 + 2) = -104 – 69 + 112 = - 61.

Ответ: Δ = - 61.

Задание 4

Вычислить определитель

.

Решение

Непосредственное вычисление данного определителя с помощью правила треугольников, правила Саррюса или разложение его по элементам какого-либо столбца (строки) привело бы к очень громоздким вычислениям. Поэтому целесообразно сначала преобразовать данный определитель, используя свойство 10. Величина определителя не изменится, если первую его строку сначала умножить на 2 и вычесть из второй, а затем умножить на 4 и вычесть из третьей:

.

Полученный определитель (согласно свойству 7) можно разложить по элементам первого столбца, в котором только один элемент отличен от нуля:

.

Ответ: Δ = 7422.

Задание 5

Не раскрывая определителя, доказать справедливость равенства

.

Решение

Воспользуемся свойством 10 определителей. Величина определителя не изменится, если первый его столбец сначала умножить на 2 и прибавить ко второму, а затем умножить на 3 и прибавить к третьему:

Что и требовалось доказать.

Задание 6

Не раскрывая определителя, доказать справедливость равенства

.

Решение

Воспользуемся свойством 10 определителей. Величина определителя не изменится, если первый его столбец прибавить к третьему:

.

В полученном определителе соответствующие элементы второго и третьего столбцов пропорциональны, следовательно, в соответствии со свойством 6 определителей данный определитель равен нулю. Что и требовалось доказать.

Задание 7

Не раскрывая определителя, доказать справедливость равенства

.

Решение

Воспользуемся свойством 9 определителей и представим исходный определитель в виде суммы двух определителей:

.

Первый из этих определителей имеет два одинаковых столбца – первый и второй, а во втором соответствующие элементы первого и третьего столбцов пропорциональны, следовательно, в соответствии со свойством 6 определителей оба этих определителя равны нулю, а, следовательно, и данный определитель равен нулю. Что и требовалось доказать.

Задание 8

Решить систему

Решение

Вычислим определитель системы:

.

Так как Δ = -8 ≠ 0, то система имеет единственное решение, которое можно найти по формулам Крамера:

Для этого вычислим определители Δ₁, Δ₂ и Δ₃:

Следовательно,

Ответ:

Задание 9

Решить систему

Решение

Вычислим определитель системы

.

Так как Δ = -23 ≠ 0, то система имеет единственное решение, которое можно найти по формулам Крамера:

Для этого вычислим определители Δ₁, Δ₂ и Δ₃:

Следовательно,

Ответ:

Следующее задание выполните самостоятельно.

Задание 10

Решить систему

Если у Вас получился ответ отличный от (0,5; 2; 1,5), то рассмотрите решение задания 10.

Решение задания 10.

Вычислим определитель системы:

.

Так как Δ = 10 ≠ 0, то система имеет единственное решение, которое можно найти по формулам Крамера:

Для этого вычислим определители Δ₁, Δ₂ и Δ₃:

.

Следовательно, .

Ответ: