
tv_ms_1
.docРешение.
Так
как события попарно независимы и
,
также верно
.
Обозначим
.
Выразим
через
,
пользуясь теоремой сложения для трёх
несовместных событий:
.
Решив
это уравнение относительно
,
получим
.
В
таком случае
достигает максимального значения
(при
).
Если
,
то, на первый взгляд,
.
Покажем, что допущение
приводит к противоречию. Действительно,
при условии, что
;
или, так как
,
при условии, что
.
Отсюда
.
Итак,
наибольшее возможное значение
.
#80
Вероятность отказа первого элемента равна 0,1,второго -
0,15,третьего – 0,2
То
есть
=0,1,
=0,15,
=0,2
=0,9,
=0,85,
=0,8
Тока в цепи не будет, если откажет хотя бы один элемент
То
есть нужно использовать формулу появления
хотя бы одного события (P(A)=1-*…*
)
Значит, искомая вероятность равна 0,388
(P(A)=1-*
*
=1-(0,9*0,85*0,8)=0,388)
Ответ:0,388
#81
Устройство содержит два независимо работающих элемента. Вероятности отказа элементов соответственно равны 0,05 и 0,08. Найти вероятность отказа устройства, если для этого достаточно, чтобы отказал хотя бы один элемент.
Решение: Вероятность того, что откажет 1й элемент, 2й элемент или оба, обратна вероятности того, что ни один не откажет, т.е.:
Ответ: 0,126.
#82
Для разрушения моста достаточно попадания одной авиационной бомбы. Найти вероятность того, что мост будет разрушен, если на него сбросить четыре бомбы, вероятности попадания которых соответственно равны: 0,3; 0,4; 0,6; 0,7.
Решение: При последовательном сбрасывании четырех бомб мост будет разрушен (событие А), если в него попадет хотя бы одна бомба. Следовательно, искомая вероятность равна:
Ответ: 0,9496.
#83
Три исследователя, независимо один от другого, производят измерения некоторой физической величины. Вероятность того, что первый исследователь допустит ошибку при считывании показаний прибора, равна 0,1. Для второго и третьего исследователей эта вероятность соответственно равна 0,15 и 0,2. Найти вероятность того, что при однократном измерении хотя бы один из исследователей допустит ошибку.
Решение.
Вероятность того, что при однократном измерении хотя бы один из исследователей допустит ошибку равна:
Р(А) = 1 - q1q2q3 = 1 –(1 – 0,1)*(1 – 0,15)*(1 – 0,2) = 0,388.
#84
Вероятность успешного выполнения упражнения
для каждого из двух спортсменов равна 0,5. Спортсмены
выполняют упражнение по очереди, причем каждый делает
по две попытки. Выполнивший упражнение первым полу-
получает приз. Найти вероятность получения приза спорт-
спортсменами.
Решение. Для вручения приза достаточно, чтобы хотя бы
одна из четырех попыток была успешной. Вероятность успешной
попытки р = 0,5, а неуспешной q=1 - 0,5 = 0,5. Искомая вероятность
Р = 1 - q^4 = 1 —0,5^4 =0,9375.
#85
Вероятность попадания в мишень каждым из двух стрелков равна 0,3. Стрелки стреляют по очереди, причем каждый должен сделать по два выстрела. Попавший в мишень первым получает приз. Найти вероятность того, что стрелки получат приз.
Решение.
Для получения приза достаточно, чтобы
хотя бы одна из четырех попыток была
успешна. Вероятность успешной попытки
p=0,3 , неуспешной q=1-p=0,7.
Тогда искомая вероятность будет равна
P=1-q*q*q*q=1-≈0,76
#86
Вероятность хотя бы одного попадания стрелком в мишень при трех выстрелах равна 0,875. Найти вероятность попадания при одном выстреле.
Решение:
Вероятность попадания в мишень хотя бы при одном из трех выстрелов (событие А) равна
Р(А)=1-q3, где q — вероятность промаха. По условию, P (A) = 0,875. Следовательно,
0,875=1—q3, или q3 = 1—0,875 = 0,125.
Отсюда
q=
=0,5.
Искомая вероятность р = 1— q = 1—0,5 = 0,5.
#87
Вероятность хотя бы одного попадания в цель при четырех выстрелах равна 0,9984. Найти вероятность попадания в цель при одном выстреле.
Решение:
Вероятность попадания в мишень хотя бы при одном из трех выстрелов (событие А) равна
Р(А)=1-q4, где q — вероятность промаха. По условию, P (A) = 0,9984. Следовательно,
0,9984=1—q4, или q4 = 1—0,9984= 0,0016.
Отсюда
q=
=0,2.
Искомая вероятность р = 1— q = 1—0,2 = 0,8.
#88
Условие:
Многократно
измеряют некоторую физическую величину.
Вероятность того, что при считывании
показаний прибора допущена ошибка,
равна
.
Найти наименьшее число измерений,
которое необходимо произвести, чтобы
с вероятностью
можно было ожидать, что хотя бы один
результат измерений окажется неверным.
Решение:
Вероятность
хотя бы одной ошибки из
считываний равна
,
где
,
и
-
вероятность ошибки при одном считывании.
Из условия
получим:
;
;
;
Следовательно,
искомое число измерений равно
,
где
– целая часть числа
#89
В урну, содержащую два шара, опущен белый шар, после чего из нее наудачу извлечен один шар. Найти вероятность того, что извлеченный шар окажется
белым, если равновозможны все возможные предположения о первоначальном составе шаров (по цвету).
Решение:
Обозначим через А событие - извлечен белый шар. Возможны следующие предположения о первоначальном составе шаров: В1 - белых шаров нет, В2 - один белый шар, В3 - два белых шара.
Поскольку
всего имеется три гипотезы, причем по
условию они равновероятны, и сумма
вероятностей гипотез равна единице
(так как они образуют полную группу
событий), то вероятность каждой из
гипотез равна 1/3, т. е. P(B1)
= P(B2) = P(B3)
=
Вероятность
того, что будет извлечен белый шар, при
условии, что первоначально в урне не
было белых шаров,
.
Если в урне был один белый шар, то
.
Условная вероятность того, что будет
извлечен белый шар, при условии, что в
урне было два белых шара
Искомую вероятность того, что будет извлечен белый шар, находим по формуле полной вероятности:
Ответ:
P(A)=
#90
В урну, содержащую n шаров, опущен белый шар, после наудачу извлечен один шар. Найти вероятность того что извлеченный шар окажется белым, если равновозможны все возможные предположения о первоначальном составе шаров по цвету.
Решение:
Обозначим
через А событие - извлечен белый шар.
Возможны следующие предположения о
первоначальном составе шаров: В1- 1 белый
шар, В2- 2 белых шара... Вn-n
белых шаров. Поскольку всего имеется
n гипотез, причем по условию
они равновозможны и сумма вероятностей
равна единице, то вероятность каждой
гипотезы равна
.
По гипотезе В1 условная вероятность
вытащить белый шар равна
,
по гипотезе В2 условная вероятность
вытащить белый шар равна
…
по гипотезе Вn условная
вероятность вытащить белый шар равна
.
Искомую вероятность того, что будет извлечен белый шар, находим по формуле полной вероятности:
#91
Условие задачи:
В
вычислительной лаборатории имеется
шесть клавишных автоматов и четыре
полуавтомата. Вероятность того, что за
время выполнения некоторого расчета
автомат не выйдет из строя, равна
;
для полуавтомата эта вероятность равна
.
Студент производит расчет на наудачу
выбранной машине. Найти вероятность
того, что до окончания расчета машина
не выйдет из строя.
Решение задачи:
Обозначим
через
событие – произведен расчет на наудачу
выбранной машине. Возможны следующие
гипотезы в данном эксперименте:
- расчет производится на клавишном
автомате,
- расчет производится на полуавтомате.
Так
как имеется 6 клавишных автоматов и 4
полуавтомата, то вероятность того, что
произойдет гипотеза
,
равна
.
А вероятность того, что произойдет
гипотеза
,
равна
.
Условная
вероятность того, что клавишный автомат
не выйдет из строя, равна
,
т.е
. А условная вероятность того, что
полуавтомат не выйдет из строя, равна
,
т.е
.
Искомая вероятность того, что до окончания эксперимента машина не выйдет из строя, находим по формуле полной вероятности:
Ответ: P(A)=0,89
#92
В пирамиде пять винтовок, три из которых снабжены оптическим прицелом. Вероятность того, что стрелок поразит мишень при выстреле из винтовки с оптическим прицелом, равна 0,95; для винтовки без оптического прицела эта вероятность равна 0,7. Найти вероятность того, что мишень будет поражена, если стрелок произведет один выстрел из наудачу взятой винтовки.
Решение
Рассмотрим события:
A – стрелок поразит мишень
В1 – взятая наудачу винтовка снабжена оптическим прицелом
В2 – взятая наудачу винтовка без оптического прицела
Следовательно,
по условию, вероятность события А при
условии события В1:
,
а вероятность события А при условии
события В2:
.
В
свою очередь вероятность события В1:
,
т.к. всего винтовок 5, а благоприятствуют
событию 3 винтовки. Аналогично
.
Пользуясь
формулой полной вероятности
,
получим:
Ответ: 0,85
#93
Задание: В ящике содержится 12 деталей, изготовленных на заводе № 1, 20 деталей —на заводе № 2 и 18 деталей— на заводе № 3. Вероятность того, что деталь, изготовленная на заводе № 1, отличного качества, равна 0,9; для деталей, изготовленных на заводах N° 2 и № 3, эти вероятности соответственно равны 0.6 и 0,9. Найти вероятность того, что извлеченная наудачу деталь окажется отличного качества.
Решение:
Обозначим через A событие
– извлечена деталь отличного качества.
Возможно три варианта гипотезы:
– извлечена деталь отличного качества,
изготовленная заводе №1;
– извлечена деталь отличного качества,
изготовленная заводе №2;
– извлечена деталь отличного качества,
изготовленная заводе №3. По условию
.
Найдём вероятности того, что извлечённая
деталь изготовлена на заводе №1, №2, №3.
где
- общее число изготовленных на 3-х заводах
деталей,
– количество деталей изготовленных,
соответственно, на заводах №1, 2, 3.
Искомая вероятность вероятность того, что извлеченная наудачу деталь окажется отличного качества находится по формуле полной вероятности:
#94
В первой урне содержится 10 шаров, из них 8 белых; во второй урне 20 шаров, из них 4 белых. Из каждой урны наудачу извлекли по одному шару, а затем из этих двух шаров наудачу взят один шар. Найти вероятность того, что взят белый шар.
Решение:
Обозначим
через
событие – извлечён белый шар. Возможны
следующие гипотезы:
-
белый шар взят из первой урны,
-
белый шар взят из второй урны.
Поскольку
всего имеется две гипотезы, причём по
условию они равновероятны, и сумма
вероятностей гипотез равна единице(т.к.
они образуют полную группу событий), то
вероятность каждой из гипотез равна
,
т.е.
.
Условная
вероятность того, что белый шар будет
извлечён из первой урны равна:
=
Условная
вероятность того, что белый шар будет
извлечён из второй урны равна:
=
По формуле полной вероятности находим:
#95
В каждой из трех урн содержится 6 черных 4 белых шара. Из первой урны наудачу извлечен один шар и переложен во вторую урну, после чего из второй урны наудачу извлечен один шар и переложен в третью урну. Найти вероятность того, что шар, наудачу извлеченный из третьей урны, окажется белым.
Решение.
A1 – вероятность того, что из первой урны извлечен белый шар.
A2 – вероятность того, что из первой урны извлечен черный шар.
P(A1)=4/10 P(A2)=6/10
B1 – вероятность того, что из второй урны извлечен белый шар, после того как из первой урны переложили во вторую урну белый шар.
B2 – вероятность того, что из второй урны извлечен белый шар, после того как из первой урны переложили во вторую урну черный шар.
P(B1)=5/11 P(B2)=4/11
C1 – вероятность того, что из второй корзины будет извлечен белый шар.
C2 – вероятность того, что из второй корзины будет извлечен черный шар.
P(C1)=P(A1)*P(B1)+P(A2)*P(B2) P(C1)=4/10*5/11+6/10*4/11=2/5
P(C2)=1-P(C1) P(C2)=1-2/5=3/5
D1 – вероятность того, что из третьей урны извлечен белый шар, после того как из второй урны переложили в втретью урну белый шар.
D2 – вероятность того, что из третьей урны извлечен белый шар, после того как из второй урны переложили в втретью урну черный шар.
P(D1)=5/11 P(D2)=4/11
E – вероятность того, что из третьей урны будет извлечен белый шар.
P(E)= P(D1)*P(C1)+P(D2)*P(C2) P(E)=5/11*2/5+4/11*3/5=2/5
Ответ: 2/5.
#96
Вероятности того, что во время работы цифровой электронной машины произойдет сбой в арифметическом устройстве, в оперативной памяти, в остальных устройствах,
относятся как 3:2:5. Вероятности обнаружения сбоя в арифметическом устройстве, в оперативной памяти и в остальных устройствах соответственно равны 0,8; 0,9; 0,9. Найти вероятность того, что возникший в машине сбой будет обнаружен.
Решение: Пусть А – событие того, что сбой будет обнаружен, тогда из формулы полной вероятности следует, что:
PA= PB1PB1A+PB2PB2A+PB3PB3A= 0,3*0,8+0,2*0,9+0,5*0,9=0,87.
#97
Обозначим через А событие – деталь отличного качества
Можно сделать два предположения
-деталь
произведена первым автоматом (так как
производительность первого автомата
вдвое больше второго автомата, то
Р(
)=2/3)
-деталь
произведена вторым автоматом (Р(
)=1/3)
Условная
вероятность, что она будет отличного
качества, если она произведена первым
автоматом
(A)=0,6
Условная
вероятность, что она будет отличного
качества, если она произведена первым
автоматом
(A)=0,84
Вероятность того, что наудачу взятая деталь окажется отличного качества, по формуле полной вероятности равна
P(A)=Р()*
(A)+
Р(
)*
(A)=2/3*0.6+1/3*0.84=0.68
Вероятность того, что взятая отличная деталь произведена первым автоматом, по формуле Бейеса равна
(
)=
=
=
Ответ:
#98
В пирамиде 10 винтовок, из которых 4 снабжены оптическим прицелом. Вероятность того, что стрелок поразит мишень при выстреле из винтовки с оптическим прицелом, равна 0,95; для винтовки без оптического прицела эта вероятность равна 0,8. Стрелок поразил мишень из наудачу взятой винтовки. Что вероятнее: стрелок стрелял из винтовки с оптическим прицелом или без него?
Решение:
Обозначим событие А – стрелок поразил
мишень и гипотезы: B1 –
стрелок выбрал винтовку с оптическим
прицелом, B2 – без оптического
прицела. Тогда
.
Условные вероятности попадания из
винтовки с оптическим прицелом и без:
.
Вычислим вероятность попадания из
наудачу взятой винтовки:
Теперь, воспользовавшись формулой Бейеса, получим ответ:
Ответ: Стрелок вероятнее всего стрелял из винтовки без оптического прицела.
#99
Число грузовых автомашин, проезжающих по шоссе, на котором стоит бензоколонка, относится к числу легковых машин, проезжающих по тому же шоссе как 3:2. Вероятность того, что будет заправляться грузовая машина, равна 0,1; для легковой машины эта вероятность равна 0,2. К бензоколонке подъехала для заправки машина. Найти вероятность того, что это грузовая машина.
Решение:
Обозначим через А событие—подъезд
автомобиля к заправке. Можно сделать
два предположения:
—проехал
грузовой автомобиль, причем
=3/5;
—
проехал легковой автомобиль, причем
= 2/5.
Условная вероятность, что
проезжающий грузовой автомобиль подъедет
на заправку:
= 0,1 . Для легкового:
= 0,2.
Вероятность
того, что проезжающий автомобиль подъедет
на заправку, по формуле полной вероятности
равна Р(А) =
+
= 3/5
0,1 + 2/5
0,2 = 0,14
Искомая
вероятность того, что подъехавший к
заправке автомобиль будет грузовым, по
формуле Бейеса равна
=
=
= 3/7
Ответ: 3/7.
#100
Две перфораторщицы набили на разных перфораторах по одинаковому комплекту перфокарт. Вероятность того, что первая перфораторщица допустит ошибку, равна 0,05; для второй перфораторщицы эта вероятность равна 0,1. При сверке перфокарт была обнаружена ошибка. Найти вероятность того, что ошиблась первая перфораторщица. (Предполагается, что оба перфоратора были исправны.)
Решение.
Обозначим
через событие А – ошибку перфораторщицы.
Тогда,
– ошибка сделана первой перфораторщицей,
- ошибка сделана второй перфораторщицей.
Причем P(
)=0,5
и P(
)=0,5,
т.к. обе работали одинаково.
Условная
вероятность того, что первая перфораторщица
допустит ошибку, равна
(A)=0,05;
Условная
вероятность того, что вторая перфораторщица
допустит ошибку, равна
(A)=0,1.
Вероятность того, что наудачу взятая перфокарта, окажется с ошибкой равна, по формуле полной вероятности равна:
P(A)=
P()*
(A)+
P(
)*
(A)=0,5*0,05+0,5*0,1=
.
Искомая вероятность того, что взятая перфокарта произведена первой перфораторщицей, по формуле Бейеса равна:
=
=
=
.
#101
В специализированную больницу поступают
в среднем 50% больных с заболеванием К, 30%—с за-
заболеванием L, 20%—с заболеванием М- Вероятность
полного излечения болезни К равна 0,7; для болезней L
и М эти вероятности соответственно равны 0,8 и 0,9.
Больной, поступивший в больницу, был выписан здоро-
здоровым. Найти вероятность того, что этот больной страдал
заболеванием К.
Решение
Больные поступают в больницу в разном процентном соотношении. Р(k)= 0.7, P(L)=0.3,P(M)= 0.2, где K,L,M – заболевания, а Р(Х)- вероятность поступления с данным заболеванием.Тогда Pk(A)=0.7, Pl(A)=0.8 ,Pm(A)=0.9 это вероятность полного излечения от данного заболевания. Чтобы найти вероятность что Больной, поступивший в больницу, был выписан здоровым надо найти :