Лекция № 11 “Прямая в пространстве”

1. Общее уравнение прямой.

Прямая в пространстве может быть задана как пересечение двух плоскостей:

. (1)

О1. Геометрическое место точек пространства, удовлетворяющих системе уравнений (1), называется прямой в пространстве, а система уравнений (1) называется общим уравнением прямой.

З1. Для того чтобы система уравнений (1) определяла прямую в пространстве необходимо и достаточно, чтобы нормальные вектора плоскостей,

определяющих прямую, ибыли неколлинеарными, т.е. выполняется одно из неравенств:или.

Пусть прямая проходит через точку параллельно вектору , который называется направляющим вектором прямой (см. Лекцию № 7), тогда ее уравнение называется каноническим и имеет вид:

. (2)

З2. Если в уравнении (2) одна из проекций направляющего вектора равна 0, то это означает, что прямая перпендикулярна соответствующей координатной оси.

Пример 1. Как расположена прямая относительно координатных осей.

Согласно замечанию 2 эта прямая будет перпендикулярна осям абсцисс и ординат (параллельна оси аппликат) и будет проходить через точку .

Приравняв каждую дробь уравнения (2) параметру , получимпараметрическое уравнение прямой:

Пример 2. Записать уравнение прямой в параметрическом виде.

Приравняем каждую дробь к параметру :. Если пря-

мая проходит через две известные точки и, то ее уравнение имеет вид (см.Лекцию № 7): и назы-ваетсяуравнением прямой, проходящей через две заданные точки.

2. Основные задачи.

а) Переход от общего уравнения прямой к каноническому. Пусть прямая задана общим уравнением . Для того, чтобы перейти от этого уравнения прямой к каноническому, поступают следующим образом:

– находят координаты любой точки, удовлетворяющие приведенной системе, для чего одну из переменных величин, например , полагают равной нулю и решают систему линейных алгебраических уравнений относительно оставшихся переменных величин;

– направляющий вектор прямой находят как векторное произведение нормальных векторов и :

;

– зная точку, через которую проходит прямая, и направляющий вектор прямой записывают каноническое уравнение прямой.

Пример 3. Записать уравнение прямой в каноническом и параметрическом виде.

Положив , получим СЛАУСкладывая уравнения, найдем. Подставив это значение переменнойво второе уравнение системы, по-лучим. Таким образом, прямая проходит через точку . Найдем направляющий вектор прямой как векторное произведение нормальных векторов заданных плоскостей:

б) Угол между пересекающимися прямыми. Угол между двумя пересека-ющимися прямыми определяется как угол между их направляющими векторами. Если прямые иимеют направляющие вектора

и ,

соответственно, то угол между прямыми определяется по формуле:

.

Сл1. Если прямые перпендикулярны (), тоусловием перпен-дикулярности прямых является равенство: .

Сл2. Если прямые параллельны, то направляющие вектора коллинеарны, следовательно, условие параллельности прямых: .

в) Координаты точки пересечения прямой и плоскости. Пусть прямая задана общим уравнением, а плоскостьуравнением.Так как точка пересечения прямой и плоскости принадлежит одновременно обоим этим объектам, то ее координаты находят из решения системы уравнений:

.

Если прямая задана каноническим уравнением,

а плоскость уравнением, то поступают по следующей

схеме:

– переходят от канонического уравнения прямой к параметрическому, т.е. записывают уравнение прямой в виде ;

– полученные выражения подставляют в уравнение заданной плоскости

и находят параметр :.

Рассмотрим возможные случаи:

1) если выполняются условия , то прямая не пересекает плоскость (прямая параллельна плоскости);

2) при условиях прямая лежит на плоскости;

3) если , прямая пересекает плоскость в одной точке.

– вычисляют координаты точки пересечения, подставив найденное значение в параметрическое уравнение прямой .

г) Угол между прямой и плоскостью. Пусть дана плоскость с нормальным вектороми пересекающая ее прямаяс направляющим вектором (Рис. 53).

Рис. 53. Угол между прямой

и плоскостью.

Угол является углом между прямойи плоскостью. Угол между нормальным вектором плоскости и прямой обозначим через. Из рисунка видно, что. Следовательно,

.

Сл1. Если прямая перпендикулярна плоскости (), тоусловие перпендикулярности прямой и плоскости имеет вид: .

Сл2. Если прямая параллельна плоскости (), то направляющий вектор прямой и нормальный вектор плоскости перпендикулярны (), следовательно,условие параллельности прямой и плоскости: .

21