Определители
Матрица – это числа, объединенные в таблицу.
Матрицы бывают строкой, столбцом, прямоугольными и квадратными. Обозначаются большой буквой (А=), элемент – маленькой буквой с индексом (аij – i – строка, j - столбец).
В общем виде:
А=; В=(b11 b12 b13)
Определитель – числовая характеристика квадратной матрицы (∆, D, det A). Вычисляется по правилу:
∆==a11a22-a12a21
∆==9+5=14
∆=
Метод треугольника: (+) (-)
Минор любого элемента определителя – это определитель меньше на один порядок, который получается, если вычеркнуть строку и столбец, в которых стоит данный элемент.
Алгебраическое дополнение элемента получается, если минор этого элемента умножить на знак (-1)i+j.
Метод вычисления определителя с помощью алгебраических дополнений.
Теорема: Определитель равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения.
Доказательство:
Аналогично можно доказать теорему для любой строки или столбца.
Свойства определителей:
-
Определитель не изменится, если его строки и столбцы поменять местами.
-
Если определитель имеет две одинаковые строки (столбца), то он равен нулю.
-
Если элементы одной строки (столбца) пропорциональны соответствующим элементам другой строки (столбца), то определитель равен нулю.
-
Если все элементы любой строки (столбца) определителя умножить на число, то величина определителя умножится на это же число.
Используя это свойство можно вынести общий множитель элементов строки (столбца)
-
Определитель не изменяется, если вместо его строки записать сумму элементов этой строки с соответствующими элементами другой строки, умноженными на число.
Системы линейных уравнений
где аij – коэффициенты системы;
xj - переменные;
bi – свободные члены.
Система называется однородной, если все «bi» равны нулю, система неоднородная, если хотя бы один «bi» не равен нулю.
Система называется совместной, если имеет одно решение, несовместной – если имеет множество решений.
Решением системы называется набор чисел х1…хп, которые превращают все уравнения в верные тождества.
Решения систем методом Крамера:
;
Неоднородная система уравнений может быть записана
∆x1=∆x1
∆x2=∆x2
1. Если ∆, ∆х1 и ∆х2 ≠0, то решение единственно.
2. Если ∆=0, ∆х1 или ∆х2 ≠0, то решений нет.
3. Если ∆, ∆х1, ∆х2 =0, то решений множество.
Пример:
№1
№2
Решений система не имеет.
Однородная система линейных уравнений
-
Если ∆≠0, то система единственное нулевое решение.
-
Если ∆=0, то система имеет бесконечное множество решений.
Векторы и действия над ними
Вектор – направленный отрезок.
В координатном виде вектор записывается или .
Характеристики вектора:
-
Длина
-
Направление – задается направляющими косинусами
; ; ;
- единичный вектор, имеющий то же направление, что и , .
Замечание: Еденичные векторы, сонаправленные с осями координат называются ортами и обозначаются .
Равные вектора – вектора, у которых совпадают и длина и направление.
Нулевой вектор – длина равна нулю, направления нет (точка )
Коллинеарные вектора – вектора, лежащие на одной или параллельных прямых (сонаправлены или противоположно направлены), причем их длина не важна.
и - коллинеарные
k0 - векторы сонаправлены
k=1 – векторы равны
- векторы направлены противоположно
Признак коллинеарности:
Векторы компланарны – если три и более вектора лежат в одной плоскости.
Действия с векторами
-
Сложение – по правилам треугольника и параллелограмма
Свойства:
1.
2.
-
Вычитание – по правилам треугольника и параллелограмма
Характерные свойства такие же, как и для обычного вычитания.
-
Умножение на число
Свойства:
1.
2.
3.
4.
-
Скалярное произведение векторов
Работа есть скалярное произведение вектора силы на вектор перемещения.
Свойства:
1.
2.
3.
Применение скалярного произведения:
1.
2.
3.
Пример:
;; ;
;
Векторное произведение векторов
Векторное произведение на результатом имеет , обладающим следующими свойствами:
1. перпендикулярен плоскости, построенной на и .
2. Направлен так, чтобы поворот был против часовой стрелки.
3. Равен по величине площади параллелограмма, построенном на векторах и .
Пример:
Примечание:
1.
2. Момент силы
3.
Пример:
Смешанное произведение векторов
Свойства:
(перемещать только в круговом порядке!)
Примечание:
1. Объем параллелепипеда, построенного на трех векторах, равен модулю смешанного произведения трех векторов.
Признак компланарности:
2. Объем пирамиды
Пример:
№1 Проверить будут ли компланарны
Векторы - компланарны.
№2 Найти объем пирамиды, построенной на векторах
№3 Найти равнодействующую двух сил и работу, которую она совершает по перемещению точки А в точку В.
№4 Найти , приложенный к точке А относительно точки В.
Прямые на плоскости
Уравнением линии на плоскости ХОУ называется такое уравнение, содержащее переменные х, у, которое превращается в верное тождество для любой пары координат (х,у), если точка с этими координатами принадлежит линии и не выполняется, если точка не принадлежит линии.
Прямая на плоскости характеризуется нормальным вектором () и направляющим вектором ( парал а)
-
Общее уравнение прямой:
(1)
-
Уравнение прямой, проходящей через точку
(2)
-
Пусть , тогда - направляющий. Подставив в уравнение (2) координаты т. N мы получим скалярное произведение вектора на вектор
Так как это произведение равно нулю, то
Уравнение прямой с нормальным вектором , проходящей через т. М:
-
Подставим в уравнение (2) координаты т. N
(3) –
получим уравнение прямой, проходящей через две точки.
-
Так как М и N – заданные точки прямой, то - направляющий и можно обозначить ; (где ). Тогда уравнение прямой, проходящей через т. М с направляющим вектором имеет вид:
(4)
-
Система параметрических уравнений:
-
«Школьное уравнение»
(6)
Где (коэффициент наклона), .
- длина отрезка, отсекаемого прямой от оси Оу. - проходит через начало координат.
-
Каноническое уравнение
(7)
где а, b – отрезки, отсекаемые от осей прямой.
-
Соотношения между прямыми:
а) a параллельна b (a║b)
1. коллениарен (║)
2. коллениарен
3. ()
б)
1. 2. 3. ║;
в) , φ – угол пересечения.
вычисляется с помощью arccos, если или если , то используется формула:
-
Расстояние от т. М () до прямой а с уравнением
Пример:
№1 Написать уравнение прямой, проходящей через т. К(-3;1) и т. Е(7;4)
Приведем уравнение к общему виду
Координаты вектора , вектора
№2 Дано уравнение прямой 2х+4у-1=0. Написать уравнение прямой, проходящих через т. А(1;1) а) b║а.