4. Парабола.

О11. Параболой называется геометрическое место точек равноудаленных от выделенной точки , называемой фокусом параболы, и прямой , называемой директрисой.

Выведем каноническое уравнение параболы. Выберем декартову систему координат так, чтобы фокус лежал на оси абсцисс, а директриса проходила бы через точку, расположенную симметрично фокусу, перпендикулярно к оси абсцисс(Рис. 33). Пусть точка принадлежит параболе:

Рис. 33. Вывод уравнения параболы.

Вычислим расстояния от точки до фокуса и директрисы

; .

По определению параболы эти расстояния равны, следовательно,

.

Возведем обе части уравнения в квадрат

или .

Раскрывая разность квадратов, стоящую в правой части уравнения, получим каноническое уравнение параболы: (а также аналогичные ему, см. Рис. 34). Найдем координаты точек пересечения параболы с координатными осями:

, т.е. – точка пересечения параболы с осью абсцисс;

, т.е. – точка пересечения параболы с осью ординат.

О12. Точка называется вершиной параболы.

Если точка принадлежит параболе, то ей принадлежат и точка, следовательно, парабола симметрична относительно оси абсцисс.

Пример 3. Дано уравнение параболы . Определить координаты фокуса параболы и составить уравнение параболы.

Так как из уравнения параболы следует, что, следовательно. Таким образом, фокус этой параболы лежит в точке, а уравнение параболы имеет вид.

Рис. 34. Параболы и их

уравнения.

Лекция № 10 “Плоскость в пространстве”

1. Общее уравнение плоскости.

О1. Уравнение вида отображает поверхность в пространстве.

О2. Порядок поверхности определяется по высшему показателю степени переменных ,иили по сумме показателей степени в произведении этих величин.

О3. Уравнение вида называется общим уравнением плоскости.

Рассмотрим частные случаи приведенного уравнения:

1) . Из этого уравнения видно, что точкаудовлетворяет этому уравнению, следовательно, это уравнение описывает плоскость, проходящую через начало координат(Рис. 44).

Рис. 44. Плоскость, проходящая через начало координат.

2) . Этому уравнению удовлетворяет любое значение переменной, поэтому данное уравнение описывает плоскость, которая параллельна оси аппликат ()(Рис. 45).

Рис. 45. Плоскость, проходящая параллельно оси

аппликат.

–плоскость параллельна оси ординат ();

–плоскость параллельна оси абсцисс ().

З1. При отсутствии в уравнении плоскости одной из переменных величин говорит о том, что плоскость параллельна соответствующей координатной оси.

3) – плоскость проходит через начало отсчета параллельно оси аппликат(Рис. 46).

Рис. 46. Плоскость, проходящая через начало координат

параллельно оси аппликат.

–плоскость проходит через начало координат параллельно оси ординат;

–плоскость проходит через начало координат параллельно оси абсцисс.

4) – плоскость проходит через точкупараллельно плоскости(Рис. 47).

Рис. 47. Плоскость, проходящая параллельно

координатной плоскости .

–плоскость проходит через точку параллельно плоскости;

–плоскость проходит через точку параллельно плоскости.

5) – уравнение описывает плоскость(Рис. 48).

Рис. 48. Координатная плоскость .

–уравнение описывает плоскость ;

–уравнение описывает плоскость .