3. Основные задачи.

1. Координаты точки пересечения двух прямых. Пусть две прямые заданы общими уравнениями . Требуется найти координаты точки пересечения этих прямых. Для того чтобы вычислитькоординаты точки пересечения , необходимо решить вышеприведенную систему линейных алгебраических уравнений, так как координаты точкидолжны одновременно удовлетворять уравнениям прямыхи.

2. Угол между двумя пересекающимися прямыми. Пусть даны две пересекающиеся прямые, заданные уравнениями с угловыми коэффициентами

. Требуется найти угол между этими прямыми (Рис. 26).

Рис. 26. Угол между двумя прямыми.

Из рисунка видно, что , а угол. Вычислим:

.

Наименьший угол между пересекающимися прямыми определим формулой

. Из полученной формулы видно:

а) если прямые и параллельны или совпадают (или), то. Отсюда следуетусловие параллельности прямых: угловые коэффициенты прямых равны между собой .

а) если прямые иперпендикулярны (), тоне существует. Отсюда следуетусловие перпендикулярности прямых: угловые коэффициенты прямых связаны между собой соотношением .

Пример 4. Определить угол между прямыми

В силу того, что , то прямые параллельны, следовательно,.

Пример 5. Выяснить взаимное расположение прямых

Так как угловые коэффициенты и связаны между собой соотношением, то прямые взаимно перпендикулярны.

3. Расстояние от точки до прямой. Расстояние от точки до прямой определятся вдоль перпендикуляра, опущенного из точки на прямую . Если прямаязадана общим уравнением, то расстояние от точки до прямой

определяется формулой: . Если прямаязадана уравнением прямой с угловым коэффициентом, то расстояние от точки до прямой определяется формулой:.

Лекция № 8 “Кривые второго порядка”

1. Окружность.

О1. Кривой второго порядка называется линия, описываемая уравнением .

З1. Если коэффициенты , уравнение кривойII порядка вырождается в уравнение прямой.

При определенных значениях параметров, входящих в это уравнение, оно дает канонические уравнения окружности, эллипса (не путать с овалом), гиперболы и параболы. Рассмотрим эти кривые второго порядка в указанной последовательности.

О2. Окружностью называется геометрическое место точек равноудаленных от выделенной точки , называемой центром окружности, на

расстояние , которое называетсярадиусом окружности.

Получим уравнение окружности (Рис. 27). Пусть точка лежит на окружности

Рис. 27. Вывод уравнения окружности.

Из рисунка видно, что по теореме Пифагора , которое определяет уравнение окружности(Рис. 28).

Рис. 28. Окружность.

Если , то уравнение принимает вид, которое называетсяканоническим уравнением окружности.