- •И.Д. Долгий
- •1.2. Функции алгебры логики (фал) одного
- •Константа 0
- •Фал конъюнкция
- •Фал дизъюнкция
- •Фал «и-не»
- •Фал «или-не»
- •2. Преобразование функций алгебры логики
- •2.1. Тождества алгебры логики
- •2.2. Законы алгебры логики
- •2.3. Теорема разложения в ряд функции алгебры
- •2.4. Функционально-полные системы функций
- •2.5. Стандартные формы функций алгебры логики
- •3. Минимизация функций алгебры логики
- •3.1. Некоторые понятия и определения
- •3.2. Аналитический метод минимизации фал
- •3.3. Табличные методы минимизации функций
- •4. Синтез дискретных автоматов
- •4.1. Техническая реализация функций алгебры
- •4.2. Основные сведения о дискретных автоматах
- •4.3. Синтез комбинационных автоматов
- •5. Синтез конечных автоматов
- •5.1. Синтез конечных автоматов мили
- •Совмещенная таблица переходов и выходов
- •Минимальная таблица переходов и выходов
- •Минимальная абстрактная таблица
- •Структурная таблица переходов
- •Структурная таблица выходов
- •Преобразованная таблица выходов
- •5.2. Синтез конечных автоматов мура
- •6. Анализ комбинационных автоматов
- •6.1. Задачи анализа
- •6.2. Анализ релейно-контактной схемы
- •6.3. Анализ схем комбинационНых автомаТов,
2.3. Теорема разложения в ряд функции алгебры
логики
Любая функция алгебры логики может быть разложена в ряд на основании теоремы разложения. Теорема разложения может быть представлена двумя формами следующим образом:
(2.15)
(2.16)
В выражениях (2.15) и (2.16) функция разложена по переменной х1. Тождества теоремы разложения доказываются путем подстановки в левые и правые части тождеств в начале,, а затем,. В обоих случаях тождества будут одинаковые.
Функция алгебры логики аналогично может быть разложена по любой из переменных или последовательно по всем переменным.
Пример 2.1. Разложить функцию сначала пох1, а затем пох2.
В результате разложения заданной функции получили ее стандартную форму.
Из теоремы разложения вытекают следующие соотношения, которые широко используются для упрощения функций алгебры логики:
(2.17)
(2.18)
(2.19)
(2.20)
Докажем справедливость выражения (2.17). Для этого функцию левой части данного выражения разложим по переменнойхi и в результате получим
(2.21)
Левую и правую части выражения (2.21) умножим на хiсогласно (2.17) и с учетом тождестваи закона повторения получим:
.
Аналогично можно доказать соотношения (2.18) (2.20).
Соотношения (2.17) (2.20) позволяют сделать следующие выводы:
1. Если в логическом выражении какой-то из аргументов находится в конъюнктивной связи с одноименными аргументами или их отрицаниями, то при упрощении логического выражения вместо одноименных аргументов записывается 1, а вместо их отрицания 0.
2. Если в логическом выражении отрицание какого-либо аргумента находится в конъюнктивной связи с одноименными аргументами или их отрицаниями, то при упрощении логического выражения вместо одноименных аргументов ставится 0, а вместо их отрицаний 1.
3. Если в логическом выражении какой-то из аргументов находится в дизъюнктивной связи с одноименными аргументами или их отрицаниями, то при упрощении логических выражений вместо одноименных аргументов записывается 0, а вместо их отрицаний 1.
4. Если в логическом выражении отрицание какого-либо аргумента находится в дизъюнктивной связи с одноименными аргументами или их отрицаниями, то при упрощении логического выражения вместо одноименных аргументов записывается 1, а вместо их отрицаний 0.
Пример 2.2. Упростить логическое выражение (логическую функцию) .
Используя соотношение (2.17) получим
.
Пример 2.3. Упростить логическую функцию
.
Применяя соотношение (2.18) получим =
.
Пример 2.4. Упростить логическую функцию
.
Применяя соотношение (2.19) получим =
.
2.4. Функционально-полные системы функций
алгебры логики
Логические выражения, с помощью которых представляются дискретные устройства могут содержать любые функции одного и двух аргументов (2.1) и (2.2). В этом случае для построения электрических схем необходимо выполнить техническую реализацию всех функций алгебры логики, входящих в логические выражения. Задача технической реализации всех функций алгебры логики является достаточно сложной и дорогостоящей. Избавиться от этой сложной задачи позволяют функционально-полные системы функций алгебры логики.
Система функций алгебры логики называется функционально полной, если с помощью функций, входящих в эту систему можно представить любую из 16 функций алгебры логики двух аргументов. В пятом столбце таблицы 1.6. все функции двух аргументов представлены одной их стандартных форм, которая называется совершенной дизъюнктивной нормальной формой (СДНФ). СДНФ включает в себя три функции алгебры логики
отрицание «НЕ»,
конъюнкцию «И»,
дизъюнкцию «ИЛИ».
Этот состав функций «И», «ИЛИ», «НЕ» является основным функционально-полным набором функций алгебры логики.
При построении электрических схем дискретных устройств достаточно широко используются еще два функционально-полных набора, каждый из которых содержит только одну функций «И-НЕ» либо «ИЛИ-НЕ».
Таким образом, в дальнейшем будем использовать следующие три функционально-полных набора:
«И», «ИЛИ», «НЕ»;
«И-НЕ»;
«ИЛИ-НЕ».
Существуют и другие функционально-полные системы функций алгебры логики, но они практически не используются.
Для представления любого логического выражения любым функционально-полным набором необходимо сначала это выражение представить функционально полным набором «И», «ИЛИ», «НЕ» используя таблицу 1.6., а затем используя закон двойного отрицания и закон инверсии заданное выражение можно представить функционально-полным набором «И-НЕ» либо «ИЛИ-НЕ». Функционально-полные наборы называют базисами.
Пример 2.5. Представить логическое выражение базисом «И», «ИЛИ», «НЕ».
Для этого согласно таблице 1.6. сначала избавимся от операции неравнозначности, а затем от операции равнозначности. В результате получим:
.
Согласно закону инверсии опустим знаки отрицания непосредственно на аргументы, раскроем скобки и получим следующий окончательный вариант
Для представления этого логического выражения базисом «И-НЕ» необходимо избавиться от операции ИЛИ (логического сложения). Для этого воспользуется сначала законом двойного отрицания и получим:
.
По закону инверсии опустим нижнюю черту двойного отрицания на аргумент
.
Таким образом в базисе «И-НЕ» присутствуют только две операции «И» (логическое умножение) и отрицание, которые реализуются одним логическим элементом.
Аналогично выполняется представление данного логического выражения базисом «ИЛИ-НЕ». Для этого необходимо избавиться от операции логического умножения.