77

И.Д. Долгий

СИНТЕЗ И АНАЛИЗ

ДИСКРЕТНЫХ УСТРОЙСТВ

Ростов-на-Дону

2005

1. Функции алгебры логики

1.1. Основные понятия и определения

В алгебре логики принято сложные высказывания отождествлять с функциями алгебры логики, а простые высказывания с аргументами этих функций. Все высказывания как сложные так и простые могут быть истинными или ложными. Истинные высказывания в числовом выражении равны единице, а ложные нулю.

Таким образом, функцией алгебры логики является такая функция, которая как и ее аргументы, может принимать только два значения 0 или 1.

Все функции алгебры логики определяются на наборах аргументов, число которых равно 2ⁿ, где n – количество аргументов от которых зависит функция алгебры логики. Под набором аргументов понимается комбинация различных значений аргументов. Если n=1, то количество наборов N будет равно N=2¹=2, т.е. один набор 1 а второй 0. Если n=2, то N=2²=4. Наборы аргументов будут следующие: 00, 01, 10, 11.

На каждом из наборов аргументов функция алгебры логики может принимать значение 0 или 1. Отсюда получается зависимость количества функций М от числа наборов аргументов N

или (от числа аргументов) .

Таким образом, количество функций одного аргумента будет равно , количество функций двух аргументови т.д.

В настоящее время хорошо изучены и широко используются в теории дискретных устройств только функции одного и двух аргументов.

1.2. Функции алгебры логики (фал) одного

аргумента

Известно, что количество ФАЛ одного аргумента равно четырем. Эти функции представляются следующей таблицей 1.1.

Таблица 1.1.

Нумерация ФАЛ	Наборы аргумента х		Обозначение ФАЛ	Название ФАЛ
	0	1
f0	0	0	0	Константа 0
f1	0	1	x	Аргумент х
f2	1	0		Отрицание аргумента х
f3	1	1	1	Константа 1

Из таблицы 1.1. следует, что две функции алгебры логики не зависят от значения аргумента. Функция константа 0 всегда равна 0, а функция константа 1 всегда равна единице при любом значении аргумента х. Функция аргумент х повторяет значение аргумента, функция отрицание аргумента принимает значение противоположное аргументу, т.е. (читается «не икс»).

Все функции алгебры логики могут быть представлены таблицами истинности. Таблица истинности включает в себя все наборы аргументов от которых она зависит и значение функции на каждом наборе. Представим функции одного аргумента таблицами истинности.

Таблица 1.2.

Константа 0

Наборы аргумента
0	0
1	0

Таблица 1.4.

Отрицание аргумента

Наборы аргумента
0	1
1	0

Таблица 1.3.

Аргумент х

Наборы аргумента
0	0
1	1

Таблица 1.5.

Константа 1

Наборы аргумента
0	1
1	1

1.3. Функции алгебры логики двух аргументов

Количество функций двух аргументов равно эти функции представлены в следующей таблице.

Таблица 1.6.

Функции двух аргументов

Аргументы	Наборы аргументов	Аналитическая запись функции	Название функции	Представление ФАЛ двух аргументов в СДНФ
х1 х2	0 0 1 1 0 1 0 1
1	2	3	4	5
f0	0 0 0 0	0	Константа нуля	–
f1	0 0 0 1		Конъюнкция (логическое произведение)
f2	0 0 1 0		Отрицание импликации от х1 к х2
f3	0 0 1 1		Повторение аргумента х1
f4	0 1 0 0		Отрицание импликации от х2 к х1
f5	0 1 0 1		Повторение аргумента
f6	0 1 1 0		Неравнозначность
f7	0 1 1 1		Дизъюнкция
f8	1 0 0 0		Отрицание дизъюнкции
f9	1 0 0 1		Равнозначность
f10	1 0 1 0		Отрицание аргумента х2
f11	1 0 1 1		Импликация от х2 к х1
f12	1 1 0 0		Отрицание аргумента х1
f13	1 1 0 1		Импликация от х1 к х2

1	2	3	4	5
f14	1 1 1 0		Отрицание конъюнкции
f15	1 1 1 1	1	Константа единицы	–

Из 16-ти функций двух аргументов необходимо глубоко разобраться и усвоить те функции, на базе которых построены и широко используются логические элементы «И», «ИЛИ», «НЕ», «И-НЕ», «ИЛИ-НЕ».

Логический элемент «И» представляет собой техническую реализацию функции алгебры логики двух аргументов, которая называется конъюнкцией или логическим произведением двух аргументов. Таблица истинности данной функции имеет вид

Таблица 1.7.