2.1.5 Вынужденные колебания при сопротивлении, пропорциональном скорости

Пусть на точку массы m, совершающую прямолинейное движение, действуют следующие силы (рис. 2.20):

Рис. 2.20 Схема механической системы с вынужденными колебаниями

1. Восстанавливающая сила (сила упругости пружины): .

2. Сила сопротивления, пропорциональная скорости движения точки (сила сопротивления демпфера): .

3. Возмущающая сила вида (2.21): Q_x = Q_osint.

Запишем дифференциальное уравнение движения точки:

;

Обозначая

, , ,

получаем:

(2.34)

– линейное неоднородное дифференциальное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами.

Его решение ищем в виде суммы

х = х₁ + х₂, (2.35)

где х₁ – общее решение однородного уравнения;

х₂ – частное решение неоднородного уравнения со специальной правой

частью.

Поскольку х₁ описывает быстро затухающие со временем собственные колебания, далее полагаемх₁= 0.

Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде

x₂ = Asin(t – ε), (2.36)

подлежат определению амплитуда Aи сдвиг фазε.

Для этого вычисляем первую и вторую производные x₂по времени, затем подставляем выраженияx₂, в (2.34) и приравниваем нулю коэффициенты приsin(t – ε)иcos(t – ε). Из полученных соотношений находимAиε:

; (2.37)

, (2.38)

видим, что они сложным образом зависят от параметров k,bи.

Таким образом, решение (2.35) после затухания собственных колебаний имеет вид

x = Asin(t – ε), (2.39)

где Aиεдаются выражениями (2.37) и (2.38).

Для построения АЧХ приведем (2.37) к виду

.

поделив обе части на , получим коэффициент динамичности

. (2.40)

Здесь обозначено (так называемый коэффициент расстройки), .

Зависимость (2.40) позволяет построить АЧХ вынужденных колебаний при наличии сопротивления (рис. 2.21).

По вертикальной оси отложено значение коэффициента динамичности k_дин, показывающего, во сколько раз амплитуда установившихся вынужденных колебаний больше перемещения, вызываемого статически приложенной постоянной силой, равной максимальной величине возмущающей силы.

Рис. 2.21 АЧХ вынужденных колебаний при наличии сопротивления

Другими словами, амплитуда гармонической неровности пути передается на подрессоренное тело увеличенной в k_дин раз. Так, при отсутствии демпфирования ( = = 0) получаем при совпадении частоты возмущения с собственной частотой (резонанс z = = 1) теоретически бесконечно большое значение амплитуды возникающих вынужденных колебаний. Согласно (2.40) находим в этом случае значение k_дин   .

Каждая из кривых на рис. 2.21 соответствует определенному значению параметра  = . При возрастании , т.е. при увеличении сопротивления, максимум амплитуды становится менее выраженным, а затем и вовсе исчезает.

При z=   все кривые стремятся к нулю, это означает, что при большой частоте возмущающей силыωпо сравнению с собственной частотой системыk амплитуда вынужденных колебаний весьма мала.

Пример. Рассмотрим показанную на рис. 2.22 механическую систему, представляющую собой простейшую одномассовую модель рельсового экипажа. Тело массы m через подвеску, состоящую из пружины жесткости с и гасителя колебаний (демпфера) с коэффициентом вязкого сопротивления , опирается на колесо K, массой которого пренебрегаем.

Рис. 2.22 Модель рельсового экипажа

Примем следующие значения параметров системы: m = 50000 кг, с = 10⁷ Н/м,  = 40000 Н/(м/с). Тогда частота собственных колебаний будет равна с^–1, параметр гашения 0,8, то есть b = 0,4 (имеем случай малого сопротивления, ).

Колесо движется по пути с неровностью h = h(x) вида (2.29), частота возмущения при скорости v₀ = 40 м/с и длине рельса L_p = 25 м будет равна =10,06 с^–1 (дорезонансная зона, ).

Колебания подпрыгивания тела происходят под действием силы тяжести , силы упругости пружины и силы сопротивления гасителя колебаний (см. рис. 2.22). Источником возмущения являются неровности пути. На рис. 2.23 показаны профиль пути (внизу) и график колебаний подпрыгивания (вверху). Видим, что собственные колебания быстро затухают, и колебания подпрыгивания представляют собой установившиеся вынужденные колебания с коэффициентом динамичности, равным k_дин = 2.

а

б

Рис. 2.23 График вертикальных колебаний:

а – колеса; б - профиль неровности пути

2. Динамика несвободного движения