Канонічне представлення логічних функцій

Будь-яку логічну функцію в загальному вигляді можна розкласти за однією із змінних на дві складові або на два множники в такий спосіб:

(1)

Справедливість цих розкладань можна легко встановити, підставляючи в обидві частини кожного з рівнянь два можливих значення змінної Х₁: 0 і 1. Таким чином можна розкласти за іншою змінною кожну з отриманих складових (кожний множник). Наприклад,

(2)

Якщо цю операцію проробити для всіх змінних Х, то результатом перетворення буде вираз

При розкладанні на множники можна одержати

У цих важливих залежностях є закономірності, які буде легше виявити, якщо ввести додаткові позначення.

Кон'юнкцію всіх аргументів функції ( із запереченням або без) будемо називати повною і позначати буквою К із відповідним індексом. Індексом у позначенні служить номер набору або двійкове число ( а також відповідне йому десяткове), отримане при заміні кожної змінної символом 0. Наприклад, повної кон'юнкції Х₁Х₂ відповідає індекс 11 (або 3) і позначення К₃, а повної кон'юнкції - індекс 010 (або 2) і позначення К₂ і т.д.

Диз'юнкцію всіх аргументів функції (із запереченням або без) будемо називати повною і позначати буквою D з індексом. Індекс тут визначається інакше, ніж для повної кон'юнкції: шляхом заміни змінної на 0, і- на 1. Тому повної диз'юнкціївідповідає індекс 00 (або 0) і позначення D₀, а повної диз'юнкції - індекс 101 (або 5) і позначення D₅.

Символи К_i D_i однозначно визначають повну кон'юнкцію і повну диз'юнкцію, якщо відомо число змінних n.

Значення функції для конкретних наборів значень аргументів зручно позначати символом  з індексом у вигляді десяткового числа, що відповідає двійковому числу, обумовленому значеннями аргументів, наприклад

Вводячи позначення, формули (1) і (2) для функції двох змінних можна записати у вигляді

Аналогічно для n змінних

(3)

(4)

Тут символ  позначає логічну суму (диз'юнкцію), а  - логічний добуток (кон'юнкцію).

Останній вираз дозволяє легко перейти від таблиці істинності логічної функції до аналітичного представлення. Оскільки 0  К_i =0 і 1 К_i=К_i для представлення функції у вигляді (3) потрібно виписати диз'юнкцію тих К_i, для яких _i=1. Для логічної функції, наведеної в табл. 1, це буде вираз

.

Останню формулу можна одержати безпосередньо з таблиці істинності, фіксуючи увагу тільки на тих наборах, для яких У=1, і замінюючи в них Х_i=0 змінної , а Х_i=1 - змінної . Отримані в такий спосіб повні кон'юнкції потрібно об'єднати знаком. Описаний варіант аналітичного представлення функції має назву досконалої диз'юнктивної нормальної форми (ДДНФ). Зі способу її побудови випливає, що кожна функція може мати лише єдине представлення такого виду.

При пошуку представлення функції у вигляді (4) потрібно враховувати, що

Тому у відповідному виразі потрібно лишити кон'юнкцію тільки тих D_i, для яких _i = 0. Для приклада, що розглядається, цей вираз має вигляд

Останню формулу можна одержати безпосередньо з таблиці істинності, відбираючи з неї тільки ті набори, для яких У = 0, і замінюючи в них ті набори, для яких У = 0, та замінюючи в них Х_i = 0 змінної Х_i, а Хi = 1 - змінної . Отримані повні диз'юнкції з'єднуються знаками кон'юнкції. Такий варіант представлення зветьсядосконалою кон'юнктивною нормальною формою (ДКНФ). Для кожної функції він також єдиний.