Приклади логічних функцій
Логічних функцій однієї змінної усього чотири. Вони наведені в таблиці 2.
Таблиця 2
Логічні функції однієї змінної
-
X
0
1
2
3
0
0
0
1
1
1
0
1
0
1
Функції 0
і 3
- константи 0 і 1 відповідно; їх значення
не залежать від значення змінної, і ,
отже, змінна x для них неістотна. Функція
1
повторює x. Функція 2
називається "запереченням" або
функцією "НЕ" і позначається
або
.
Її значення протилежне значенню x.
Логічних функцій двох змінних - 16. Вони наведені в таблиці 3.
Таблиця 3
Логічні функції двох змінних
|
х1 x2 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
|
0 0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
0 1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
1 0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
|
1 1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
Функції 0 і 15 константи 0 і 1, тобто функції з двома неістотними змінними. Відзначимо, що ці функції відрізняються від наведених у таблиці 3.2. Там вони унарні, а тут бінарні операції на В.
Функція 1
називається кон'юнкцією
х1 і
х2.
Її позначають:
або
&
.У всіх випадках знак
кон'юнкції аналогічно знаку множення
часто опускають і пишуть х1
х2
. Вона дорівнює 1, тільки якщо х1
і х2
рівні 1, тому її часто називають функцією
І. Ще одна її назва - "логічне множення",
оскільки її таблиця дійсно збігається
з таблицею звичайного множення для
чисел 0 і 1.
Функція 7
називається диз'юнкцією
х1 і
х2.
Ії позначають:
або
.
Вона дорівнює 1, якщо х1
або х2
дорівнює 1 ("або" тут розуміється
в неподільному змісті - хоча б одне з
двох). Тому її часто називають функцією
АБО.
Функція 6 - це додавання по модулю 2. Її позначення х1х2. Вона дорівнює 1, коли значення її аргументів різноманітні, і дорівнює 0, коли вони рівні.
Інші функції мають назву: 13 - імплікація: х1х2; 8 - стрілка Пірса: х1х2; 14 - штрих Шеффера: х1 х2.
Інші функції спеціальних назв не мають і виражаються через перераховані вище функції.
Зв'язок логічних функцій і функціональних схем
Побудова комп'ютерних обчислювальних систем безпосередньо пов'язана з використанням різноманітних логічних функцій. З усіх перерахованих логічних функцій апаратно реалізовані в різноманітних серіях мікросхем логічні операції "І", "АБО", "НЕ", а також "І - НЕ" і "АБО - НЕ".
Практична реалізація логічних функцій на апаратному рівні провадиться у відповідності з такою послідовністю:
<логічна функція> <функціональна схема> <принципова схема>.
Функціональні блоки логічних схем будуть надалі використані при розробці схем кінцевих автоматів. Розглянемо представлення основних логічних функцій за допомогою функціональних блоків (табл.4).
Інші логічні функції, подані в табл. 3, можуть бути виражені через наведений набір найпростіших функцій.
Розглянемо приклад представлення деякої логічної функції за допомогою функціональної схеми. Нехай задана логічна функція
.
Для цієї логічної функції (знак логічного множення опущений) функціональна схема буде мати вигляд, показаний на рис.1.
У прикладі вихідний сигнал У формується трьома вхідними сигналами Х1, Х 2 і Х3. Така функціональна схема одержала назву комбінаційної схеми.
Звичайно формуванню логічної функції при проектуванні логічного пристрою передує розробка словесного опису необхідної функції. Прикладом правильного опису може служити таке завдання:
Таблиця 4.
Представлення логічних функцій
-
№ п/п
Функція
Функціональний блок
Приклад
1
І
Х 1
... У
Х n
У = Х1Х2 ... Хn
1
2
АБО
Х 1 У
...
Х n
У = Х1Х2 ... Хn
1
3
НЕ
Х У
4
І - НЕ
Х 1
... У
Х n
1
5
АБО - НЕ
Х 1
... У
Х n
"Спроектувати пристрій з елементів І, АБО, НЕ з трьома входами Х1, Х2, Х3, на виході якого з'являється сигнал У = 1 у випадку, якщо на вхід пристрою подається не парне двійкове число або число, кратне числу три (Х3 відповідає двійковому розряду з меншою вагою)".
y
х1
х2
х3
х3
Рис. 1. Приклад комбінаційної схеми