4.2 Анализ рассуждений средствами логики высказываний

4.2.1 Запись предложений естественного языка на язык логики высказываний.

Для перевода на язык алгебры и высказываний предложений русского языка частицу «не» заменяем отрицанием (¬), союз «и» заменяем конъюнкцией (), «если-то» - импликацией (), «тогда и только тогда» - эквиваленцией (), «или»- дизъюнкцией ().

Сами предложения структурируем таким образом, чтобы они состояли из отдельных частей, представляющих собой высказывания, относительно которых можно сказать «И» или «Л».

Пример: записать формулой алгебры высказываний следующее предложение: «Параллелограмм является прямоугольником, если все углы его прямые или его диагонали равны».

А- «параллелограмм является прямоугольником»

В- «все углы параллелограмма прямые»

С- «диагонали параллелограмма равны»

Пример: Даны три высказывания:

1) Или студент не сдал экзамен, или если он ходил на дискотеку, то музыка играла.

2) Если студент сдал экзамен, то он не ходил на дискотеку.

3) Если музыка играла, то студент ходил на дискотеку.

А – «студент сдал экзамен»;

В – «студент ходил на дискотеку»;

С – «на дискотеке музыка играла».

(1)

(2)

(3)

Совместны ли (1),(2),(3) или нет? Для проверки на совместность составим конъюнкцию этих высказываний.

Если конъюнкция является логическим противоречием, то высказывания несовместны; если не является логическим противоречием, то совместны. Для анализа упростим исходную формулу:

=

=={(28)}=

=

=

Формула не является логическим противоречием, так как и могут принимать значение И одновременно, что следует из таблицы истинности:

А	В	С
И	И	И	Л	И
И	И	Л	Л	И
И	Л	И	И	Л
И	Л	Л	И	И
Л	И	И	И	И
Л	И	Л	И	И
Л	Л	И	И	Л
Л	Л	Л	И	И

Пример: можно ли на основании утверждения посылок (1) и (2)

Если книга интересна, то она полезна (1).

Книга интересна (2).

сделать правильный выбор о полезности книги

А – «книга интересна»

В – «книга полезна»

Посылка 1)

Посылка 2) А

Заключение: В

Составим конъюнкцию посылок, и проверим, верно ли следование:

╞В

Для проверки заменим знак логического следования на операцию импликации и определяем, является ли полученная импликация логическим законом.

F(В)

{FA,TA,FB}

{TB,TA,FB}

Так как обе таблицы замкнуты, то получим, что заключение «книга полезна» верно.

4.2.2 Решение логических задач.

Пример. Определить участника преступления, исходя из двух посылок:

1) "Если Иванов не участвовал или Петров участвовал, то Сидоров участвовал";

2) "Если Иванов не участвовал, то Сидоров не участвовал".

Решение

Составим высказывания:

I - "Иванов участвовал в преступлении"; 

P - "Петров участвовал в преступлении";

S - "Сидоров участвовал в преступлении".

Запишем посылки в виде формул:

Рассмотрим конъюнкцию посылок и упростим ее:

Проверим результат, используя таблицу истинности:

Ответ: Иванов участвовал в преступлении.

Задача. Вернувшись домой, Мегрэ позвонил на набережную Орфевр.

• Говорит Мегрэ. Есть новости?

• Да, шеф. Поступили сообщения от инспекторов. Торранс установил, что если Франсуа был пьян, то либо Этьен убийца, либо Франсуа лжет. Жуссье считает, что Этьен – убийца, или Франсуа не был пьян, и убийство произошло после полуночи. Инспектор Люка просил передать, что если убийство было совершено после полуночи, то либо Этьен убийца, либо Франсуа лжет. Затем звонила … .

• Все. Спасибо. Этого достаточно. – Комиссар положил трубку. Он знал, что трезвый Франсуа никогда не лжет. Теперь он знал все. Какой вывод сделал Мегрэ?

Решение. Рассмотрим высказывания:

х₁ - «Франсуа был пьян»,

х₂ – «Этьен - убийца»,

х₃ – «Франсуа лжет»,

х₄ – «Убийство произошло после полуночи».

Выразим высказывания инспекторов формулами (составные высказывания).

Торранс: .

Жуссье: .

Люка: .

Так как эти высказывания предполагаются истинными, то истинной будет и их конъюнкция F:

.

Освободимся от импликации с помощью формулы :

.

=

=

=

Раскрыв скобки и выполнив несложные преобразования, получили:

.

Таким образом, из показаний инспекторов следует, что или Этьен убийца, или одновременно имели место три обстоятельства: Франсуа солгал (х₃), Франсуа не был пьян (), убийство произошло после полуночи (х₄).

Так как («Трезвый Франсуа не лжет»), то .

Следовательно, истинно х₂, то есть убийца – Этьен.

Задача. На вопрос: "Кто из трех учащихся изучал математическую логику?" получен верный ответ - "Если изучал первый, то изучал и третий, но неверно, что если изучал второй, то изучал и третий". Кто изучал математическую логику?

А={ 1-й учащийся изучал математическую логику }

В={ 2-й учащийся изучал математическую логику }

С={ 3-й учащийся изучал математическую логику }

Ответ: 2-й учащийся изучал математическую логику

Д.З.

ЗАДАЧА. По подозрению в совершенном преступлении задержали Брауна, Джона и Смита. Один из них был уважаемым в городе стариком, другой был малоизвестным чиновником, третий - известным мошенником. В процессе следствия старик говорил правду, мошенник лгал, а третий задержанный в одном случае говорил правду, а в другом - ложь. Вот, что они утверждали:

Браун: Я совершил это. Джон не виноват. Джон: Браун не виноват. Преступление совершил Смит. Смит: Я не виноват. Виноват Браун.

Требуется определить имена старика, мошенника и чиновника, и кто из них виноват, если известно, что преступник один.