VMLA-Matzokin-2012 / 2012-лекции BMLA

Обычно

вводят

обозначение

tk

1

k

k

1,

k

tk 1 / tk ,

из

формулы

tk

1

tk 1

2t1tk

tk 1

получают рекуррентное соотношение

1

,

1

1

,

k

1, 2, ... .

1

k

1

t1

2t1

2(

1)

1

k

k

Тогда

xk

1

xk

k 1(xk xk

1)

2

(1

1)

(Axk

b), k

1, 2, ... ,

k

k

k

Предварительные замечания

Циклический метод Ричардсона xk 1

xk

k 1(Axk

b)

с чебышевскими

параметрами

k

m

k (длина цикла равна m ) для решения системы Ax

b с

симметричной и положительно определенной матрицей: A

A

0 , спектр

которой лежит в интервале [

,

] ,

0 , характеризуется тем,

что за t

m

итераций ( t

циклов)

для ошибки

zt m

S

(A) z(t 1) m

[S

(A)] t

z0

m,

m,

справедливо неравенство

|| zt m || A

m || z(t 1) m || A

[ m ] t || z0 || A

z0 ,

m /(1

2m)

где

m

|| S

(

) ||

,

]

2

1,

(

) /(

) .

m,

C[

Подчеркнем,

что

эта

оценка

справедлива для всех z0 , а

для

вычисления

k

m

k необходимы оценки 0

min (A) и

max (A) .

Но,

если параметры

(t 1) m

1, ...,

(t

1) m

m

заменить

на

параметры

(t)

1) m 1

, ...,

(t)

,

зависящие от ошибки

zˆ(t

1) m ( zˆ0

z0 ),

при которых

(t

(t

1) m m

z

Sm, (t)

(A) z

1) m :

достигается минимум нормы ошибки ˆt m

ˆ(t

ˆ t m

|| A

|| S

( t ) (A)

ˆ(t

1) m

|| A

ˆ(t

1) m

|| A ,

|| z

m,

z

min || Sm, (A) z

то очевидно, что

min || S

(A)

zˆ

(t

1) m ||

A

|| S

(A)

zˆ(t

1) m ||

A

m

|| zˆ

(t 1) m ||

A

,

m,

m,

Для

определения параметров

k 1

m -циклического

метода

Ричардсона

xk 1

xk

k 1(Axk b) для

решения системы

Ax b

необходимо

Минимизация функционала

Итак, по вектору z(t 1) m

нам нужно построить вектор z(t) m

Sm, (t) (A) z(t 1) m

такой, что

|| zt m ||

A

min || S

(A)

z(t 1) m

||

A

.

m,

Решим эту задачу при t

1 (т.к. при других t

решение задачи будет таким же с

точностью до обозначений).

Т.к.

zm

(E

m

A)...(E

A)z0

z0

q ( )Az0

... q

m

( )Amz0

1

1

z0

1(

) g 1 ...

m (

) g m

Lm ,

где L

m

L{Az0 , ..., Amz0}

L{g , ..., g

m

},

а {g , ..., g

m

}

–

некоторая система

1

1

векторов (например, “ортогональный” базис в Lm ), то

|| zm ||

A

min || (E

m

A)...(E

A)z0 ||

A

min || z0

g

...

g

||

A

.

1

1 1

m

m

Параметры

1, ...,

m

удовлетворяют системе уравнений

1

(Azm , zm )

(A

zm

, zm )

(Ag

, z0

g

...

g

)

0, i 1, ..., m ,

i

1

m

m

2

1

i

i

или

(Ag1, g1)

(Ag1, g2 ) ...

(Ag1, gm )

1

(Az0 , g1)

(Ag2 , g1)

(Ag2 , g2 ) ...

(Ag2 , gm )

2

(Az0 , g2 )

.

...

(Agm , g1)

(Agm , g2 ) ...

(Agm , gm )

m

(Az

0

, gm )

Матрица

этой

системы –

матрица

Грамма

в

скалярном

произведении

(x, y)A

(Ax, y)

базиса

{gi}im

1

в

Lm , ее определитель

не

равен

нулю,

следовательно решение

существует и единственно.

Если базис {gi}im

1

является A –ортогональным, т.е. (Agi ,g j)

0, i

j, то

k

(Az0 , gk )

(r0 , gk )

,

zm

z0

1g1

2g2

...

mgm ,

xm

x0

(Agk , gk )

(Agk , gk )

g

g

...

g

.

2

2

m

m

1 1

Важное замечание. В случае A –ортогонального базиса {gi}ik

1 в Lk ,

k

1, m ,

вектор zk

z0

g ...

k

g

k

является решением задачи

1 1

|| zk ||

A

min || (E

k

A)...(E

A)z0 ||

A

min || S

(A)z0 ||

A

1

k,

т.е., в отличие от метода Ричардсона, минимизация нормы ошибки

осуществляется на каждом внутреннем шаге цикла, и, следовательно,

|| zk || A

k || z0 || A

k

1, ..., m .

0

0

(r0 ,g )

1

0

Зададим g

L , тогда

1

,

g .

Az

r

1

z

z

1

1

(Ag1,g1)

1

1

Вычислим вектор r1

Az1

Az0

1Ag1

Az0

1A2z0

L2 . Легко проверить,

что (r1,g1)

0 , т.е. r1

L1 относительно обычного скалярного произведения.

Далее применяем метод матиндукции.

Предположим,

что

мы

построили

A -ортогональный

базис

{gi}ik

1

в

Lk

L{Az0, ..., A kz 0} такой, что

1. {gi}ij

L{Az0, ..., Ajz0}, j

1 – A -ортогональный базис в Lj

1, k ,

2.

z

j

z

0

1

g ...

j

g

j

,

i

(r0 ,gi )

,

1

(Agi ,gi )

3. r j

Az j

Lj 1 и r j

Lj , т.е. (r j,gi ) 0

i 1, j.

Определим g

k

1

rk

g

...

k

g

k

L

k

1

из условий

1 1

(Ag

k

1

,g

)

(Ark ,g

i

)

1

(Ag ,g

i

) ...

k

(Ag

k

,g

)

0,

i

1

i

i 1, ..., k.

Так как (Ag j,gi )

0, i

j, то

i

(Ark ,gi ) /(Agi ,gi ) ,

так как rk

L

k

и Ag

i

L

1

L

k

при i

1

k , то (Ark ,g

i

)

(rk , Ag

)

0 и

i

i

i

0, i

1, k

1.

Тогда

1.

gk

1

rk

kgk ,

k

(Ark ,gk ) /(Agk ,gk ) , и