VMLA-Matzokin-2012 / 2012-лекции BMLA

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Новосибирский государственный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

от 0 на интервале

] и равный 1 при

Tm (x( )),

.pdf

Скачиваний:

328

Добавлен:

06.06.2015

Размер:

4.66 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 96 7 8 9 > Следующая >>>

Мацокин А.М. “Вычислительные методы линейной алгебры.” Конспект лекций.

\|\| zk \|\| 2	k (S	опт
		опт
\|\| zk \|\| A	k (S	опт
		опт

)	\|\| z0 \|\| 2 ,
)	\|\| z	0	\|\| A , где	(S		)	max (A)	min (A)	1.
)	\|\| z		\|\| A , где	(S	опт	)	max (A)	min (A)	1.
							max (A)	min (A)

Док-во.

Так как A

A , то S

и, следовательно, || S

|| 2

) .

Далее,

|| S ||2A

max

(AS z,S z)

max

(S [A1/ 2z],S [A1/ 2z])

|| S

||22

2 (S ) ,

z 0

(Az, z)

([A1/ 2z],[A1/ 2z])

а из неравенств || zk ||

|| S

|| || zk 1 || и вышеизложенного следуют

оценки теоремы.

Оценки сходимости МНС и ММН

Теорема.

Если A

0 , то для ошибки zk метода наискорейшего спуска:

xk 1

k (Axk

b) ,

(rk , rk )

0, 1, ...,

(Ark , rk )

справедливы оценки:

|| zk || A

max

min

|| z0 || A ,|| zk || 2

max

min

|| z0 || 2

max

min

max

min

Док-во.

Так как

|| zk 1 || A

inf || zk

Azk || A

|| S

опт

|| A

|| S

опт

|| A

|| zk || A

опт

) || zk || A

то || zk || A

опт

k || z0 || A , где

опт

)

max (A)

min (A)

опт

max (A)

min (A)

Так как min (z, z)

(Az, z)

max (z, z) и, следовательно,

min || z || 2

|| z || A

max || z || 2 ,

то || zk || 2

k || z0 || A .

max /

min

опт

Теорема.

Если A

0 , то для ошибки zk метода минимальных невязок:

xk 1

k (Axk

b) ,

(Ark , rk )

0, 1, ...,

(Ark , Ark )

справедливы оценки:

Мацокин А.М. “Вычислительные методы линейной алгебры.” Конспект лекций.

|| rk || 2

max

min

|| r0 || 2 ,

|| zk || 2

max

min

|| z0 || 2

max

min

max

min

Док-во.

Так как

|| rk 1 || 2 inf || rk

Ark || 2

|| rk

опт Ark || 2

|| S

опт

|| 2

|| rk || 2

опт

) || zk || 2

то || rk || 2

опт

k || r0 || 2 , где

опт

)

max (A)

min

(A)

опт

max (A)

min (A)

Так как || rk || 2

|| Azk || 2

min | 2 (z, z)

(Az, Az)

max | 2 (z, z) ,

то из неравенств

min || zk || 2

|| rk || 2

max || zk || 2

следует оценка

max

|| z

|| 2

опт || z

|| 2 .

min

Мацокин А.М. “Вычислительные методы линейной алгебры.” Конспект лекций.

Лекция 9. Метод Ричардсона с чебышевскими параметрами Предварительные замечания

В предыдущем разделе для решения системы Ax

b с матрицей A

0 мы

рассмотрели стационарный метод Ричардсона (простой итерации)

задан,

(Axk

b),

0, 1, ...

и определили оптимальный параметр

опт

2/(

min

max ) такой, что

опт

)

inf (S )

(

max

min ) /(

max

min )

где S

A ,

min

max

– минимальное и максимальное собственные

значения матрицы A .

Если вместо собственных значений 0

min

max

известны их оценки

min

max

то оптимальным

параметром

опт

метода простой

итерации

называют

параметр, при котором минимизируется оценка для (S ) :

inf

(S )

inf [

max

|] inf [ max |1

inf || S1, (

) ||C[ ,

]

Sp(A)

inf [max{|1

|, |1

|}]

(

) /(

)

опт

2 /(

Решение этой минимаксной задачи иллюстрируется на следующем графике:

S1, опт ( )

(A)

Теперь сделаем две итерации метода Ричардсона (2-циклический метод Ричардсона), но с разными параметрами:

x2k	1	x2k		1 (Ax2k			b),
x2k	2	x2k 1			2	(Ax2k	1 b).
Будем выбирать параметры		1	и	2	из условия минимизации оценки для

спектрального радиуса матрицы S2,				[ 1 , 2 ]		(E	2A)(E 1A) :

Мацокин А.М. “Вычислительные методы линейной алгебры.” Конспект лекций.

inf	(S2,	) inf [ max \| (1	1	\|)	(1	2	\|)]
( 1 , 2 )		Sp(A)
		inf [ max (1 1	\|)	(1	2	\|)]	inf \|\| S2, ( ) \|\|C[ , ]	2.

Можно	доказать (докажите!),			что	оптимальные			значения параметров
( 1 ,	2 ) определяются из условий, показанных на следующем графике:
	S2, (	)
	1
	2					2
						2		(A)
								(A)
	0			2
Практически очевидно,		что 2		1, т.е. 2-циклический метод Ричаздсона
сходится “быстрее” метода простой итерации.
Тогда, очевидно, что оптимальные параметры							{ i	i }im	1 m -циклического
метода Ричардсона:
	xmk	1	xmk	1 (Axmk		b),
	...
	xmk	m	xmk	m 1	m	(Axmk	m 1	b),
	k		0, 1, ...

следует выбирать из условия минимизации оценки для спектрального радиуса

матрицы Sm, [ 1 , ,...,		m ]	(E	mA)...(E			1A)
inf	(Sm, )	inf [	max	\| (1	1	\|)	... (1	m	\|)]
( 1 , ...,	m )		Sp(A)
		inf [ max		\| (1	1 )	...	(1	m	) \|] inf \|\| Sm, ( ) \|\|C[ , ] m .

а решение этой задачи (предположительно) изображено на следующем графике

Sm, (	)
1
m	k	m	(A)
	k	m	(A)
0	ˆ k

Мацокин А.М. “Вычислительные методы линейной алгебры.” Конспект лекций.

где изображен “чебышевский альтернанс”: на интервале [ , ] полином

(

) (1

)

... (1

)

в точках

ˆ 0

...

ˆ k ...

ˆ m

имеет

1 чередующихся экстремумов S

( ˆ k )

( 1)k

m .

Тогда

Sm, (

)

имеет

попарно

различных

положительных корней

ˆ k 1

ˆ k

, и k

( k ) 1.

Предположим,

что

существует

полином

Sm, (

Sm, (0)

имеющий

“чебышевский альтернанс” на интервале [ ,

Покажем, что этот полином наименее уклоняется от нуля на интервале [ , ]

среди всех полиномов Sm (

), Sm (0) 1.

Теорема. Если

0 , то || S

( ) ||C[ , ]

inf

|| Sm ( ) ||C[ ,

] .

Sm (

), Sm (0)

Док-во. Пусть || S

(

) ||C[

, ]

inf

|| Sm (

) ||C[

] ,

Sm ( ), Sm

(0)

тогда

Sm ( ) :

|| S

(

) ||C[

, ]

|| Sm ( ) ||C[

Sm (

)

|| Sm ||C[

]

ˆ k 1

ˆ k

|| Sm ||C[

]

( )

Т.к.

последовательность

( ˆ

)}m

знакопеременна и

| S

( ˆ k ) | | Sm ( ˆ k ) | ,

то послед-ность

( ˆ

) S

( ˆ

)

S ( ˆ

)}m

знакопеременна,

т.е.

полином

Rm (

)

(

)

Sm (

)

каждом

интервале

ˆ k

1, ˆ k ) имеет положительный корень.

Т.к имеем m таких интервалов,

то полином Rm ( ) [ ,

] имеет m

попарно различных положительных корней.

Но Rm (0)

(0)

Sm (0)

1 1

0 – (m

1) -й корень:

у полинома Rm ( ) степени m разных

корней больше, чем его

степень,

т.е.

Rm ( )

–

противоречие

предположению

|| S

(

) ||C[ , ]

|| Sm (

) ||C[

, ] .

Мацокин А.М. “Вычислительные методы линейной алгебры.” Конспект лекций.

Построение полинома Sm, ( ), Sm, (0) 1, наименее уклоняющегося от нуля на интервале [ , ]

Полином Чебышева

На интервале [0, 1] рассмотрим функцию Tm (x)

cos(m arccos(x)) .

Очевидно, что

|| Tm (x) ||C[ 1, 1]

Tm (x)ˆ

1, если m arccos (x)ˆ

, т.е.

xˆ

xˆ 2k

cos(2k

/ m) ,

(x)ˆ

1, если m arccos (x)ˆ

(2k

, т.е. xˆ

xˆ

cos(

(2k

)

1, ... ,

xˆ

m 1

...

xˆ

(xˆ

)

(

1)k ,

(x)

0 , если m arccos (x)

/ 2 , т.е.

cos(

(2k

)

xˆ k

1, 2, ..., m .

T4 (x)

xˆ

1 xˆ 4

0 x2

Лемма. Функция Tm (x)

cos(m

arccos(x)) – полином (Чебышева) степени m .

Док-во. T0 (x)

T1(x)

x – полиномы.

Т.к. cos((k 1)

)

cos((k

)

2cos(

) cos(k

) ,

то при

arccos x имеем

1(x)

T1(x)

Tk (x)

1(x) – полином степени k

1 .

Следствие. Tm (x) 0

[ 1, 1] .

Замечание.

Очевидно, что полином

Чебышева

Tm (x)

имеет на

интервале

[

1, 1]

альтернанс: в

1) -й точке

xˆ m

xˆ m 1 ...

xˆ1

xˆ 0 1

принимает чередующиеся экстремальные значения T

(xˆ

)

( 1)k ,

равные по модулю.

Мацокин А.М. “Вычислительные методы линейной алгебры.” Конспект лекций.

Полином Sm, (

)

Построим полином Sm, (

), Sm, (0)

1 с чебышевским альтернансом на [

, ] ,

0 . Т.к. полином Чебышева Tm (x) имеет на интервале [

1, 1] альтернанс, то

поступим следующим образом:

интервал [

1, 1]

длины 2 отмасштабируем до интервала [

]

длины

: график полинома Tm (x) сожмется по горизонтали в график

полинома Tm (x(y)) , где

x ;

интервал [

]

сдвинем на

в интервал [

, ] : сжатый

по горизонтали график полинома Tm (x) сдвинется и будет графиком

полинома

Tm (x(

)) ,

где

(x)

x( )

(

)

, но, это очевидно, альтернанс у полинома

T (x(

)) на

интервале [ , ] сохранится;

T4 (x(0)) T4 (x( ))

(x4 )

(x1)

(x3)

(x2 )

(xˆ 0 )

(xˆ

)

3. отнормируем

полином

Tm (x( )) :

( )

Tm (x( )) , т.е.

Tm (x(0))

Sm, (0) 1, и, снова заметим, что у полученного полинома есть

чебышевский альтернанс на интервале [ , ].

Следовательно, мы построили нужный нам полином (наименее уклоняющийся

с корнями (занумерованными в порядке убывания)

	(xk )	xk		, xk	cos(	(2k 1)	), k 1, 2, ..., m .
k	(xk )	xk		, xk	cos(		), k 1, 2, ..., m .
	2		2			2m

Мацокин А.М. “Вычислительные методы линейной алгебры.” Конспект лекций.

Замечание. Очевидно, что

|| S

(

) ||

, ]

| T (x(0)) | 1 .

Норма полинома Sm,

(

)

Осталось вычислить

|| S

(

) || C[

Теорема.

Если

0 , то

|| S

(

) || C[ ,

]

2 m

1, где

Док-во.

Очевидно,

|| S

( ) ||

]

| T

( x(0) ) | 1,

x(0)

Для вычисления Tm ( x(0)) воспользуемся формулой

1)m

Tm (x)

при | x |

Заметим, что

(

x(0)

x2 (0)

(

)

(

)

x(0)

x2 (0)

x(0)

x2 (0)

Тогда T

( x(0))

( )m

(

1)m

(

m 1

2 m

Док-во формулы Tk (x)	0.5[(x
Действительно, T0 (x)	1 и T1	(x)
Осталось проверить, что Tk 1		(x)

x2	1)k	(x	x2	1)k ] при \| x \| 1.
x .
2	T1(x)	Tk (x)	Tk	1(x) или

1)k

1 (x

1)k 1

2x[(x

1)k

1)k ]

[(x

1)k 1

1)k

1] .

Пусть y

1 , тогда

y)k 1

y)k

[(x

y)k

y)k ]

y [(x y)k

y)k ]

[(x

y)k

y)k ]

{(x

y)k 1

y)k 1}

y {(x

y)k

y)k 1}]

Мацокин А.М. “Вычислительные методы линейной алгебры.” Конспект лекций.

x	[(x		y )k	(x	y )k ]
y	x	{(x y )k 1			(x	y )k 1}		(x2	1)	{(x	y )k 1 (x y )k 1}
2x		[(x	y )k	(x	y )k ]		{(x	y )k	1	(x	y )k 1}
( x2			xy yx x2 ) (x y )k 1					( x2		xy yx x2 ) (x y )k 1
2x [(x y)k	(x		y)k ]	{(x	y)k	1	(x	y)k	1}, что и тр. док.

Формулы m -циклического метода Ричардсона с чебышевскими

параметрами

Из вышеизложенного следует, что для решения системы

b ,

0 ,

Sp(A) [

, ] ,

0 ,

двучленные

формулы

m -циклического

метода

Ричардсона с чебышевскими параметрами имеют вид

k 1(Axk

b),

0, 1, ... ,

1 , ...,

m , m 1

1 , ..., 2m

m , ...

(

m j

j),

2 /[(

) (

)

cos

(2j

], j 1, 2, ..., m,

матрица

перехода для

его ошибки за полный

цикл

( z(t 1) m

zt m )

(A)

mA) ... (E

1A) симметрична, и, следовательно,

|| S

(A) ||2

|| S

(A) ||A

m .

Численная неустойчивость двучленных формул метода Ричардсона

Из–за ошибок округления реализация формул

xk 1

1(Axk

неустойчива, т.к. норма оператора шага || E k

1A || 2 для ошибки может быть

значительно больше 1 (в методе простой итерации эта норма меньше 1), в то

время как \|\| (E	1A)	... (E	mA) \|\| 2	m	1. Поэтому, если несколько первых
итераций выполняется с параметрами				k	1, для которых нормы операторов
шага \|\| E	k 1A \|\| 2	1,	то процесс		вычислений прервется из-за

“переполнения”.

Выходом из такого положения является специальная нумерация параметров k 1, при которой перемешиваются операторы шага с большими и малыми

нормами. Но мы на этом остонавливаться не будем. а построим устойчивые трехчленные формулы реализации метода Ричардсона.

Мацокин А.М. “Вычислительные методы линейной алгебры.” Конспект лекций.

Трехчленные формулы реализации метода Ричардсона
Итак, наименее уклоняющийся от 0 на интервале							[0 , ] и равный 1 при
0 полином имеет вид:
S ( ) t	1	T (x( )), x( )	2 (	)	, t		T (x(0)), x(0)	,
S ( ) t	m	T (x( )), x( )			, t	m	T (x(0)), x(0)	,
m,	m	m				m	m
m,

а для полиномов Чебышева Tm (x) и констант tm имеем трехчленные формулы:

T0 (x)

1, T1(x)

(

) /(

1(x)

2 T1(x)

Tk (x)

Tk 1(x),

2 t1 tk

В последних формулах сделаем замену Tk (x)

(

) :

t0 S

( ) 1, t1

( )

t1,

tk 1

( ) 2t1tk

( ) S

( ) tk 1

( ).

Или, учитывая формулы для tk :

( )

(

)

опт

( )

опт

) S

( )

tk 1

(

)

(

)

(

)]

опт (1

)

( ).

В этих формулах

заменим на матрицу системы Ax

b :

(A)

опт

(A)

(A)]

опт

) A S

(A).

k 1,

Тогда, если zk

(A) z0 –

k -я ошибка итерационного метода, т.е.

(A) z0

опт

Az0,

k 1

tk 1

k 1

]

опт (1

tk 1

)

то для приближений xk справедливы формулы (проверьте!):

x0 задан, x1

опт

(Ax0

b),

k 1

)

опт

tk 1

) (Ax

b).

tk 1

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 96 7 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке VMLA-Matzokin-2012

#
06.06.20154.66 Mб3282012-лекции BMLA.pdf
#
06.06.20152.51 Mб1062012-лекции ЧА.pdf
#
06.06.201568.61 Кб582012-Программа ВМЛА+ЧА.doc
#
06.06.2015157.72 Кб552012-Программа ВМЛА+ЧА.pdf