§ 11.3 Анализ трехфакторных комплексов

Выше уже было показано, что с увеличением числа организованных факторов, воздействующих на результативный признак, увеличивается и число их возможных сочетаний, усложняется символика, особенно при определении девиат. В остальном организация и анализ многофакторных комплексов принципиально не отличается от простых комплексов. Схему анализа трехфакторного равномерного комплекса можно представить в виде следующей заключительной таблицы (табл. 11.3).

Таблица 11.3

Вариация	Степени свободы k	Девиаты D
Общая
Межгрупповая
Внутригрупповая, или остаточная
По фактору А
» В
» С
Совместного действия АВ
» АС
» ВС
» АВС

Здесь A, B, C – организованные факторы, воздействующие на результативный признак Х; – количество вариант в отдельных градациях фактораА; – количество вариант в отдельных градациях фактораА; – количество вариант в отдельных градациях фактораС; a, b, c – число градаций или групп факторов A, B, C; n – численность вариант в отдельных градациях комплекса; – общее число вариант, входящих в дисперсионный комплекс, его объем;,,– вспомогательные величины;– общая для всех девиат величина.

Анализ трехфакторных комплексов начинают, как обычно, с определения ,и. Затем рассчитывают девиаты общуюD_y, факториальную, или межгрупповую, D_x и остаточную D_e; устанавливают числа степеней свободы k_y, k_x и k_e. Делением девиат на числа степеней свободы определяют дисперсии S²_x и S²_e. Дисперсионное отношение находят по факториальной дисперсии, отнесенной к остаточной дисперсии, т.е. (при). Еслидляk_x, k_e и α, то H₀-гипотезу отвергают, что дает основание для перехода к расчету факториальных девиат D_A, D_B, D_C и девиат совместного действия D_AB, D_AC, D_BC, D_ABC. Результаты вычислений сводят в заключительную таблицу с последующими выводами. Таким образом, как и в рассмотренных выше случаях, наибольших усилий и внимания требуют расчеты девиат. Другие действия сравнительно просты и не требуют дополнительных разъяснений.

§ 11.4 Анализ иерархических комплексов

Наряду с рассмотренными выше схемами, где возможны любые комбинации факторов, воздействующих на признак, в практике встречаются и такие дисперсионные комплексы, в которых свободное комбинирование факторов друг с другом исключено. Такие комплексы называют иерархическими. Они организуются, например, при изучении наследственного влияния родительских поколений на продуктивность или поведение потомства, при выяснении взаимоотношений между родственными в систематическом отношении группами живых существ и в других подобных случаях.

Характерной особенностью таких комплексов является иерархическая соподчиненность их структурных компонентов, когда группы относительно низкого ранга находятся в строгой зависимости от связанных с ними групп более высокого положения.

Анализ иерархических комплексов имеет свои особенности, обусловленные невозможностью свободного комбинирования различных групп по фактору В из разных градаций фактора А, занимающего более высокое положение в общей схеме иерархического комплекса. При обработке таких дисперсионных комплексов не вычисляют дисперсию S²_AB совместного действия факторов АВ, несколько по-другому выглядят дисперсионные отношения F_ф, иначе по сравнению с обычными многофакторными комплексами определяют факториальные дисперсии.

Как и прочие, иерархические комплексы могут быть равномерными, пропорциональными и неравномерными. Структура иерархического комплекса зависит от количества учитываемых факторов и градаций. Простейшей иерархической схемой является схема двухфакторного дисперсионного анализа. Ее можно представить в виде следующей таблицы (табл. 11.4).

Таблица 11.4

Варьирова-ние	Число степеней свободы k	Девиа-ты D	Диспер-сии S2x	Fф	Факториальные дисперсии	Сила влияния факторов
По фактору А		DA
По фактору В		DB
Остаточное		De		–
Общее		Dy	–	–

Девиаты D определяют по общим для всех комплексов формулам (11.5), (11.6) и (11.7). Факториальные девиаты определяют следующим образом: D_A – по формуле (11.23) для равномерных комплексов или по формуле (11.25) для неравномерных и пропорциональных комплексов, а девиату D_B – по формуле

, (11.36)

а для неравномерных и пропорциональных комплексов по формуле:

. (11.37)

При этом , равно как и. Здесьx_i – варианты, находящиеся в градациях комплекса АВ; x_A – варианты, находящиеся в градациях фактора А (занимающего самое высокое положение в иерархической схеме); n_i – численность вариант в отдельных градациях комплекса; n_A – количество вариант в каждой из градаций фактора А; – общее число вариант, входящих в состав данного комплекса, его объем.

При неодинаковой численности вариант в градациях комплекса в качестве знаменателя в формулах для определения факториальных дисперсий иберут усредненные величиныи, вычисляемые по следующим формулам:

; (11.38)

, (11.39)

где и. В этих формулаха – число градаций фактора А; b – число градаций фактора В; n – численность вариант в отдельных градациях комплекса; n_A – численность вариант в каждой из градаций фактора А и – объем всего дисперсионного комплекса.

Формулы для определения чисел степеней свободы k_B и k_e, приведенные в табл. 11.4, применяют к комплексам с равночисленными группами фактора В, находящимися в градациях фактора А, т.е. здесь b обозначает численность групп фактора В в отдельных градациях фактора А.