§ 11.3 Анализ двухфакторных комплексов

Ортогональные комплексы. При образовании равномерных и пропорциональных комплексов, как и вообще при образовании многофакторных комплексов, необходимо, чтобы регулируемые факторы были независимы друг от друга. Нельзя подвергать дисперсионному анализу корреляционно связанные признаки.

Общие схемы дисперсионного анализа двухфакторных ортогональных комплексов в принципе не отличаются от описанных выше схем однофакторного дисперсионного комплекса. Анализ двухфакторных комплексов не меняет, а лишь несколько усложняет общие схемы, поскольку наряду с действием каждого фактора в отдельности приходится учитывать и их совместное действие на результативный признак. Так, для общая девиата определяется по формуле

Если учитывать не два, а три регулируемых фактора A, B и C, то наряду с их индивидуальным действием возможно влияние не признак трех попарных сочетаний (АB, AC, BC), их совместное действие (АВС), а также влияние неорганизованных (случайных) факторов. Таким образом, общий компонент варьирования будет содержать восемь элементов:

При большем числе учитываемых факторов число их возможных сочетаний будет еще больше. В изучении влияния на результативный признак всех учитываемых факторов и их возможных комбинаций и заключается основная задача дисперсионного анализа. При этом не всегда необходимо учитывать все возможные сочетания организованных факторов. Этот вопрос исследователь решает в зависимости от цели исследования и принятой полноты дисперсионного анализа.

Дисперсионный анализ двухфакторных ортогональных комплексов проводят по следующей примерной схеме.

1. Рассчитывают девиаты: общую для всего комплекса D_y, межгрупповую D_x и остаточную D_e. Для этого служат формулы (11.5), (11.6) и (11.7), причем .

2. Затем определяют факториальные девиаты:

; (11.23)

; (11.24)

3. Анализ двухфакторных пропорциональных комплексов тоже начинается с определения девиат (общей, межгрупповой и остаточной) по указанным выше формулам (11.5), (11.6) и (11.7), причем при определении D_x формула (11.7) выглядит так:

.

Факториальные девиаты определяют по следующим формулам:

; (11.25)

; (11.26)

Девиату совместного действия факторов в обоих случаях определяют по формуле

. (11.27)

Как и в предыдущих случаях, в этих формулах повторяется величина , где x_i – варианты, входящие в состав дисперсионного комплекса; – общая численность вариант, или объем комплекса;a – число градаций фактора А; b – число градаций фактора B; n – количество вариант в отдельных градациях комплекса; – общая численность вариант в каждой градации фактораА; –общая численность вариант в каждой градации фактораВ; – сумма вариант в градациях фактораА; – сумма вариант в градациях фактораВ.

4. Определив значения девиат, переходят к установлению чисел степеней свободы, которые равны:

• для общей дисперсии ;

• для межгрупповой дисперсии, характеризующей влияние обоих факторов А и В на результативный признак Х ;

• для внутри групповой, или остаточной, дисперсии ;

• для факториальной дисперсии А ;

• для факториальной дисперсии В ;

• для дисперсии совместного действия факторов А и В

При этом, как и предыдущих случаях, числа степеней свободы должны находиться в таких же количественных соотношениях, как и соответствующие девиаты, т.е. и соответственно. Равенствудолжно соответствовать равенство, а равенству– равенство. Эти равенства могут служить для проверки правильности расчета девиат и чисел степеней свободы.

5. Отнесением девиат к соответствующим числам степеней свободы определяют значения дисперсий, а по их отношениям к величине остаточной дисперсии устанавливают дисперсионные отношения F, которые сравнивают с критическими точками F_st для соответствующих чисел степеней свободы и принимаемого уровня значимости. Нулевую гипотезу отвергают, если .

Заключительным этапом дисперсионного анализа является сведение результатов в таблицу, которая содержит следующие показатели (табл. 11.2).

Таблица 11.2

Вариация	Числа степеней свободы	Девиаты D	Дисперсии S2	Дисперсионное отношение Fф
По фактору А		DA
По фактору В		DB
Совместно АВ		DAB
Остаточная		De		–
Общая		Dy	–	–

Эта таблица одновременно служит и схемой двухфакторного анализа. Обычно к ней добавляют еще два столбца, в которых приводят критические точки дисперсионного отношения F_st для 5%-ного и 1%-ного уровней значимости и соответствующих чисел степеней свободы, что облегчает выводы относительно проверки нулевой гипотезы.

Неортогональные комплексы. Для двухфакторных ортогональных комплексов характерно равенство . В неортогональных комплексах, т.е. в таких, в градациях которых содержатся неодинаковые и непропорциональные числа вариант, это равенство нарушается, т.е., а следовательно, и. Сохраняется лишь равенство. Поэтому общие девиаты рассчитывают по тем же формулам, которые используют при анализе равномерных и пропорциональных комплексов.

Факториальные девиаты (D_A, D_B и D_AB) рассчитывают в два этапа. Сначала находят значения некорректированных девиат, обозначаемыми здесь символами ,и. Сумма этих девиат равна некорректированной общей девиате. Корректируя неисправленные девиаты, получают девиаты исправленные, т.е. не смещенные относительно равенства. Коррекцию девиат производят умножением их на поправочный коэффициент. Дальнейший ход анализа проводят по обычной для двухфакторных комплексов схеме, описанной выше.

Неисправленные девиаты определяют по следующим рабочим формулам:

; (11.28)

; (11.29)

; (11.30)

. (11.31)

В этих формулах

, и,

где – групповые средние;– сумма групповых средних для каждой из градаций фактораА; – сумма групповых средних для каждой из градаций фактораВ; а – число градаций фактора А; b – число градаций фактора В (в группах А); n – численность вариант в отдельных градациях комплекса; – общая численность вариант, или объем комплекса.

Оценка силы влияния факторов. Силу влияния того или фактора или их совместного действия на результативный признак определяют с помощью следующих показателей:

; (11.32)

; (11.33)

, (11.34)

где ,и– факториальные дисперсии, определяемые по значениям межгрупповых (“неисправленных”) и остаточной дисперсии с учетом числа групп a в градациях фактора А и числа групп b в градациях фактора В, а также численности вариант в группах n. Если комплекс неравномерный или пропорциональный, величину n определяют по формуле

. (11.35)

Знаменателем в формулах (11.32), (11.33) и (11.34) служит величина . Причем, если влияние одного из регулируемых факторов или их совместное действие на результативный признак не установлено, т.е. статистически недостоверно, то этот компонент из знаменателя исключают.