Модели социальных процессов

Литература

1.Арнольд В.И. "Жесткие" и "мягкие" математические модели // Математическое моделирование социальных процессов. М.: МГУ, 1998.

С.29-51.

2.Бородкин Л.И. Моделирование взаимодействия в системе "народ— правительство": модификация модели Вайдлиха// Математическое мо­ делирование исторических процессов. М., 1996. С. 122-142.

3.Вольтерра В. Математическая теория борьбы за существование. М.,

1976.

4.Гаврилец Ю.Н., Ефимов Б.А. Изменения предпочтений индиви­ дов в социальной среде// Экономика и математические методы. 1997. №2. С. 76-93.

5.Геловани В.А., Пионтковский А.А., Юрченко В.В. О задаче управ­ ления в глобальной модели WORLD-3. М., 1975.

6.Долголаптев В.Г. Работа в Excel 7.0 для Windows 95 на приме­ рах. М.: Бином, 1995.

7.Иваницкий Г.Р. На пути второй интеллектуальной революции// Техника кино и телевидения. 1988. № 5. С. 33-39.

8.Налимов В.В., Мульченко З.М. Наукометрия. М., 1969.

9.Паповян С.С. Математические методы в социальной психологии. М.: Наука, 1983.

10.Плотинский Ю.М. Математическое моделирование динамики социальных процессов. М.: МГУ, 1992.

11.Плотинский Ю.М. Иконологическое моделирование — новый ин­ струмент социологов//Социологические исследования. 2000. № 5. С. 116- 122.

12.Ризниченко Г.Ю., Рубин А.Б. Математические модели биологичес­ ких продукционных процессов. М.: МГУ, 1993.

13.Саати Т.Л. Математические модели конфликтных ситуаций. М.,

1977.

14.Сергазин Ж.Ф. Введение в социальное моделирование. Л., 1991.

15.Тихомиров Н.П. и др. Моделирование социальных процессов. М., 1993.

16.Трахтенгерц Э.А. Компьютерная поддержка принятия решений. М., 1998.

17.Тутубалин В.Н. и др. Математическое моделирование в эколо­ гии. М., 1999.

18.Форрестер Дж. Мировая динамика М., 1978.

19.Forrester J.W. System Dynamics and the Lessons of 35 years // A Systems — based approach to Policymaking / Ed.by De Green U.B.

Boston: Kluwer, 1995. P. 199-239.

20.Forrester J.W. Nonlinearity in high-order models of social systems // Eur. J. of Opnl. Res. 1987. Vol. 30. P. 104-109.

21.Hanneman R.A. Computer-assisted theory building. Modeling dy­ namic social systems. N. Y.: Sage. 1988.

250

22.Harvey D.L., Reed M. Social Science as the Study of Complex Systems // Chaos Theory in the Social Sciences / Ed.by L.D.Kiel and E.Elliot Ann Arbor. The Univ. of Michigan Press, 1996. P. 295-323.

23.Huckfeldt R.R., Kohfeld C.W., Likens T.W. Dynamic modeling. An Introduction. Newbery Park: Sage, 1982.

24.Olinick M. An Introduction to mathematical models in social and life scince. N.Y., 1978.

25.Rapoport A. Mathematical models in the social and behavioral science. N.Y.: Wiley, 1983.

26.Richardson L. E. Arms and Insecurity. Pittsburgh: Boxwood, 1960.

27.Weidlich W. Stability and Cyclicity in Social Systems // Beha­ vioral Sci. Vol. 33. 1988. P. 241-256.

Глава 13. Модели хаоса и катастроф

13.1. Математическая модель катастрофы "сборка"

Рассмотрим основные положения теории катастроф на при­ мере катастрофы "сборка", которой соответствует дифференци­ альное уравнение

При варьировании значений параметров а и Ь поведение сис­ темы (число стационарных точек, их расположение) будет так­ же меняться. Для изучения качественного характера этих изме­ нений рассмотрим потенциальную функцию

F(x,a,b) = х4 /4 - Ъх2 /2 — ах.

Заметим, что -dF/dx = -х3 +Ьх+а. На рис. 13.1 приведены двухмерные графики, характеризующие поведение функции F.

Рис. 13.1. Графики потенциальной функции

251

На рис 13.1,а изображена так называемая бифуркационная кри­ вая (4Ь3 - 27а2). Эта кривая разделяет плоскость (а, Ь) на две час­ ти. Внутри кривой функция F имеет два минимума (рис. 13.1,6). За пределами этой кривой функция F имеет только один мини­ мум (рис. 13.1,в). Как известно, экстремальные значения функ­ ции F можно определить, приравняв нулю первую производную:

где у = b; z = а. Можно считать, что это уравнение задает нели­ нейную функцию, в которой у и z — независимые переменные, а х — зависимая. График этой функции можно нарисовать в трех­ мерном пространстве с помощью Excel. Главная трудность в изу­ чении рассматриваемой функции заключается в том, что при не­ которых значениях независимых переменных эта функция становится неоднозначной. Тем не менее график такой функции построить можно. Допустим, что в функции (13.3) зависимой переменной является z, тогда можно записать

а это уже обычная функция двух переменных х и у, и ее можно построить с помощью электронных таблиц.

252

Целесообразно также провести исследование функции г, по­ строив серию графиков при фиксированных значениях у из ин­ тервала (-5;5).

Как указывалось в § 12.3, основными характеристиками фазо­ вого портрета на плоскости являются положения равновесия и пре­ дельные циклы. Сепаратрисы связывают седловые положения рав­ новесия с особыми точками и предельными циклами. Если менять параметры структурно-устойчивой системы, то ее фазовый порт­ рет будет также меняться, но его топологическая структура в определенном диапазоне значений параметра будет оставаться постоянной. При достижении критических значений парамет­ ров происходит бифуркация — меняется топологическая струк­ тура фазового портрета. Качественное исследование динамичес­ кой системы, зависящей от параметров, предполагает описание всех возможных в ней бифуркаций и определение множества би­ фуркационных значений параметров.

Рассмотрим системы, зависящие от одного параметра. Вернемся к рис. 12.5, на котором изображены типичные фазовые портреты в окрестности точки равновесия. В двух случаях положение рав­ новесия является устойчивым: устойчивые фокус и седло, и в трех — неустойчивым: седло и неустойчивые узел и фокус.

Если в процессе изменения системы параметр подходит к би­ фуркационному значению, то либо два положения равновесия сливаются и "умирают" (система совершает скачок, перескочив на другой режим), либо "рождается" пара положений равнове­ сия. Причем из двух положений равновесия одно устойчиво, а другое неустойчиво.

Ситуация возникновения предельного цикла может быть про­ иллюстрирована следующей системой уравнений:

у = г sincp). Если X < 0, то динамическая система (13.5) имеет один устойчивый фокус. Если параметр А. изменяется и стано­ вится положительным, то происходит бифуркация Хопфа, фо­ кус теряет устойчивость и в системе возникает устойчивый предельный цикл с радиусом >Д [1]. Фазовый портрет системы (13.5) в этом случае будет состоять из траекторий, изнутри и снаружи "наматывающихся" на предельный цикл. Это означает,

253

что независимо от начального состояния система достаточно бы­ стро перейдет в режим периодических колебаний (автоколеба­ тельный режим).

Рассмотрим бифуркации, связанные с предельными цикла­ ми. В этом случае возможны два варианта. При первом варианте из устойчивого фокуса при изменении параметра рождается ус­ тойчивый предельный цикл (рис. 13.3). В случае второго вариан­ та при изменении параметра неустойчивый предельный цикл исчезает, и его неустойчивость передается положению равнове­ сия — фокусу (рис. 13.4).

Рис. 13.3. Рождение цикла

Рис. 13.4. Гибель цикла

В первом варианте после потери устойчивости положения рав­ новесия устанавливается колебательный периодический режим (мягкая потеря устойчивости). Во втором варианте система ухо­ дит со стационарного режима скачком (жесткая потеря устойчиво­ сти) и переходит на другой режим движения [1].

Множество точек, к которым притягиваются траектории авто­ номных систем, называется аттрактором. Для систем с двумя переменными существует только два типа аттракторов — особая точка и предельный цикл. В первом случае все изучаемые ве-

254

личины с течением времени выходят на постоянные значения во втором — на периодический режим.

При количестве переменных в системе N > 3 и. наличии в правой части только линейных и квадратичных членов возмож­ но возникновение странных аттракторов.

13.2. Портреты хаоса

Для того чтобы интуитивно понять основные концепции тео­ рии хаоса, не обязательно штудировать тома математической ли­ тературы. Достаточно провести несколько экспериментов, доступ­ ных любому студенту, знакомому с основными возможностями электронных таблиц (см. § 12.1).

Исследуем поведение решений следующего логистического раз­ ностного уравнения:

Здесь предполагается, что емкость рынка равна 1, поэтому 0 < xt< < 1, т.е. xt — это доля рынка, завоеванная новинкой к моменту t; X — параметр управления [7].

Исследуем поведение системы (13.6) с помощью Excel, но не­ сколько модифицируем схему вычислений. Столбец А сформи­ руем так же, как и в § 12.1, параметр X запишем в ячейку С1. Сформируем вспомогательный столбец В, равный столбцу А, но

В данной таблице в ячейку А1 введено начальное значение х1 = = 0,85, в ячейку В1 записан 0, а в ячейке С1 будет хранить­ ся значение параметра А,. В ячейке А2 записана рекуррентная формула логистического уравнения, а в ячейке В2 указывается, что значение числа следует взять из предыдущей строки столбца А. Выделим ячейки А2 и В2. Затем размножим формулы в этих ячейках вниз до строки 60.

Построим график поведения решения уравнения (13.6) так же, как это делалось в § 12.1. Построим еще один график, отра-

255

жающий поведение системы в фазовой плоскости (у,х) — в дан­

ном случае (JT(+1 , xt). Для этого выделим 60 строк в столбцах А и В. Вызовем меню "мастер диаграмм". Выберем тип диаграммы

(Точечная), и в раскрывшейся галерее выберем вариант диаг­ раммы со значениями, соединенными сглаживающими линия­ ми. Полученный график поместим под ранее построенной диа­ граммой. Теперь изменения в поведении системы будут видны одновременно в двух вариантах графиков.

Изменим поведение системы (13.6), варьируя значения управ­ ляющего параметра в интервале от 0 до 4. При этом система демонстрирует три различных типа поведения: 1) стремление к состоянию равновесия; 2) периодические колебания; 3) хаос.

При значении X от 0 до 3 система стремится к равновесному стабильному положению (пример на рис. 13.5). Посмотрите, как ведут себя графики при X = 0,5; 1,8; 2,2; 2,6. При X < 1 наступа­ ет положение равновесия: х*= 0. При 1< ^< 3 система стремится

Рис. 13.5. Стремление к состоянию равновесия (X = 2,2)

Периодические колебания охватывают систему при X > 3. Качественное изменение поведения системы говорит о том, что X = 3 является точкой бифуркации — положение равновесия сме­ няется предельным циклом. Зададим X = 3,2 и увидим, что до­ вольно быстро система переходит к колебаниям с периодом 2 (в столбце А остаются только два чередующихся значения) (при­ мер на рис. 13.6). Постепенно увеличим значение X = 3,3; 3,4; 3,5. При X = 3,5 период колебаний равен 4 — произошло удвое­ ние периода. При Х= 3,567 появляется цикл с периодом 8. При

256

дальнейшем росте X появляются циклы с периодом 32, 64, 128, 256 и т.д. [7].

В хаотический режим система попадает при X е (3,8;...4) (рис. 13.7). Поведение системы становится апериодическим, не вид­ но какой-либо закономерности. Поведение кажется случайным, подверженным непредсказуемым внешним воздействиям. На са­ мом деле это загадочное поведение полностью определено детер­ минированным законом функционирования системы (13.6). Но прогнозировать поведение системы в состоянии хаоса на длитель­ ный период времени невозможно. Хаотическое поведение слиш­ ком чувствительно к изменению исходных данных. Изменение хх на одну миллионную может существенно изменить ход решения.

Качественное изменение режимов функционирования системы удобно наблюдать в фазовой плоскости. В варианте сходимости к

О И I I 11111 11 11 111 11 I I I 11 1111 И | И 11 11II I 11 111 11 ГНИ

1 5 9 13 17 21 25 29 33 37 41 45 49

Рис. 13.6. Колебания с периодом 2 (X = 3,2)

О 11111111111111111111111111111111111111111111111111

1 5 9 13 17 21 25 29 33 37 41 45 49

Рис. 13.7. Хаотический режим (X = 3,9)

257

положению равновесия решения стремятся к одной точке. Для ко­ лебаний с периодом 2 аттрактором является цикл, состоящий из двух точек. Значительно более запутанная картина возникает в случае хаотического режима. Рассмотрим несколько вариантов гра­ фика. Для этого следует отредактировать диаграмму, щелкнув по ней правой кнопкой мыши. Появится контекстное меню, в кото­ ром следует выбрать опцию "Тип диаграммы". Появится галерея вариантов графика. Выберем вариант даграммы без маркеров и уви­ дим типичную картинку странного аттрактора (рис. 13.8).

Рис. 13.8. Хаотический режим в фазовой плоскости (А. = 3,9)

Теперь уберем лишние линии, выбрав первый вариант гра­ фика, и перед нами окажется портрет таинственного странного аттрактора (рис. 13.9). Именно по этому множеству точек хао­ тично "скачет" исследуемая система. И ее можно понять — в данном случае странный аттрактор имеет вполне притягатель­ ную параболическую форму.

Поэкспериментируйте с различными исходными данными и понаблюдайте за эволюцией странного аттрактора. Убедитесь, что в хаосе тоже существует своего рода порядок.

Еще менее устойчивым становится поведение систем при учете эффекта запаздывания. Рассмотрим следующий вариант логи­

В этом случае состояние системы в момент t + 1 зависит не только от xt , но и от xt г Вспоминая, как исследуются такие модели (см. задачу Фибоначчи в § 12.1), составим вычислитель-

258

Рис 13.9. Портрет странного аттрактора (Х=3,9)

ную модель (аналогично предыдущему случаю). Оказывается, сис­ тема (13.7) имеет положение равновесия только при 0 < X < 2. При А. = 2 происходит бифуркация и появляется предельный цикл. При X > 2,27 поведение системы перестает быть стабильным [5,6].

Что же дает социологу исследование нелинейных моделей со­ циальных систем? Проведение вычислительных экспериментов по­ зволяет определить границы параметров, при которых система устойчиво демонстрирует стабильное поведение. Даже если сис­ тема оказалась в состоянии хаоса, исследование формы странно­ го аттрактора может дать полезную информацию.

Результаты последних лет позволяют надеяться, что и хао­ тическими ситуациями можно научиться управлять. Используя чувствительность хаотических режимов, в некоторых случаях уда­ ется легко перейти на стабильные траектории развития [7].

Задачи и упражнения

1. Исследуйте поведение системы, описываемой следующим нели­ нейным разностным уравнением:

х,+ 1 = 1 - 2 | * , | .

В качестве начального значения х{ возьмите все более точные зна­ чения л/4. При х1 = 0,7 у системы появится предельный цикл с перио­ дом 2, при JC = 0,78 — цикл с периодом 10 и т.д. Задав х^ = л/4, по-

259