Модели социальных процессов
.pdfM ( + 1 - M ( = £ ( l - M ( ) - / M , . |
(12.5) |
Уравнение (12.5) может быть преобразовано следующим об |
|
разом: |
|
Mt+1 = g + (l-f-g)Mt, |
(12.6) |
т.е. приведено к виду |
|
Mt+ra0 +aiMt, |
(12.7) |
который является стандартной формой линейного разностного уравнения первого порядка с постоянными коэффициентами.
Решением уравнения (12.7) называется такая функция M(t), что последовательность Мt удовлетворяет этому уравнению для заданной области значений t.
Уравнение (12.7) является простейшим и легко может быть решено алгебраическими методами. В общем случае решение дан
ного уравнения имеет вид |
|
Mt = Q ° ^ ~ a ' ) +a[M0 для а, * 1 , |
(12.8) |
1 - ах |
|
Mt = taQ + MQ для al = 1.
Таким образом, решение уравнения (12.7) однозначно опреде ляется начальным значением М0.
Равновесие и устойчивость. Одно из присущих человеку ка честв — стремление к стабильности — формализуется в теории динамических систем с помощью понятия равновесия.
Равновесие — состояние системы, в котором интересующие исследователя параметры остаются неизменными: Mt+i = Mt, при чем это не означает, что жизнь в системе вообще замирает. В рамках модели мобилизации предположение о постоянстве М, не свидетельствует об отсутствия изменений среди сторонников данной партии (часть уезжает, умирает, других партии удается привлечь на свою сторону), но общее соотношение остается при мерно постоянным.
Для определения точки равновесия системы М* подставим условие М(+1 = Mt в уравнение (12.5), в результате чего получим
230
g = (1 - M*) - fM*. |
(12.9) |
Следовательно,
M* = g / (f + g).
Легко показать, что для уравнения (12.7) состояние равнове сия вычисляется следующим образом:
М* а0/ (1 - U J ) . |
(12.10) |
Из соотношения (12.8) можно установить, что существуют толь ко варианты поведения решения, изображенные на рис. 12.1 [23]. Вариант I описывает монотонную сходимость к состоянию рав
новесия (при Oj > 0 и | Oj | < |
1); вариант II — |
осциллирующую |
||||
сходимость к |
состоянию |
равновесия (при о, |
< 0 и | а | < |
1); |
||
вариант III — монотонную расходимость (при а1 > 0 и \а1\> |
1); |
|||||
вариант IV — осциллирующую расходимость (при а1<0и\а1\> |
1). |
|||||
м* |
|
I |
|
м +. |
|
|
|
|
|
м„ |
|
|
|
// |
/* |
|
|
|
|
|
м„ - 1 |
|
|
-* |
м* |
|
|
М ж |
|
ш |
|
м. |
ш |
|
м0
Ма
м
м0
Рис. 12.1. Качественное поведение решений уравнения (12.7)
По определению, варианты I и II характеризуют устойчивую систему — все решения сходятся к положению равновесия неза-
231
висимо от значений М0 и а0, а варианты III и IV — неустойчивую систему.
Оценка параметров динамической модели. Модель мобилиза ции использовалась для изучения динамики числа голосов, подан ных за демократическую партию США в Лэйк Кантри (штат Ин диана) в период 1920-1968 гг. [23].
Для оценки численных значений коэффициентов а0, а^ моде ли применялся метод наименьших квадратов. Разностное урав нение (12.7) рассматривалось как линейное регрессионное урав нение у = т0 + т1 х, где у = М — доля избирателей в Лэйк Кантри, голосующих за кандидатов от демократической партии
в год t + 1 = 1924, 1928,..., 1968; х = М( |
— доля голосующих за |
|||
демократов в год t = 1920, 1924,..., 1964. |
|
|||
С помощью метода наименьших квадратов в [23] |
получены |
|||
следующие значения коэффициентов: т 0 = 0,14; т1= |
0,62. По |
|||
формуле (12.10) вычисляем состояние равновесия: |
|
|||
М = |
тп |
0,14 |
= 0,37. |
|
^ - = — |
|
|||
|
1 - щ |
1 - 0,62 |
|
|
На рис. 12.2,а изображен график наблюдаемых значений Mt, а на рис. 12.2,6 — график решения разностного уравнения (12.7) при М0 = М1920.
М 4 |
к |
|
|
|
|
|
м + |
|
0,5 |
- |
|
|
/'-•-.-.-ч/Л |
|
|
|
|
|
|
|
• |
• |
0,5 |
|
||
|
|
/•/ |
• |
|
|
|||
0 |
"•^в |
|
|
|
|
|
|
|
- J L__l |
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 _ ь |
- 1 I L . |
1968 t |
|||||
1920 |
|
|
а) |
1968 t |
1920 |
|||
|
|
|
|
|
|
\ / |
б) |
Рис. 12.2. Динамика голосующих за демократов на президентских выборах в Лэйк Кантри (1920-1968)
Сравнение графиков на рис. 12.2, а и б показывает, что раз ностное уравнение достаточно хорошо описывает качественные характеристики процесса мобилизации. Ясно, что данная мо дель является чрезвычайно упрощенной, реалистические моде ли требуют учета большого числа факторов и нелинейных соот ношений, однако для понимания поведения систем иногда достаточно изучить простые варианты модели.
232
12.3. Основные понятия теории |
дифференциальных |
уравнений |
|
Дифференциальные уравнения содержат не только функции, но и их производные. Запишем разностные уравнения, рассмот ренные в предыдущем параграфе, в следующем виде:
АМ,_=М |
-Ml=f(Mtt) |
At |
At |
Здесь At = 1. Уравнение (12.11) связывает состояние дина мической системы в двух точках: t и (t + At). Перейдя в левой части этого уравнения к пределу при At —» 0, получим
dM/dt = f(M,t). |
(12.12) |
Уравнение (12.12) является дифференциальным, разрешен |
|
ным относительно производной. |
|
Будем рассматривать только функции времени M(t), |
хотя в |
общем случае это не обязательно. Отметим, что дифференциаль ное уравнение в отличие от разностного описывает динамику по ведения системы в каждой точке t. Уравнение (12.12) функцио нально связывает скорости изменения (производные по t) величин, характеризующих поведение системы, с самими величинами M(t).
Не отыскивая решения аналитически, в виде формулы, мож но составить представление об общей картине этих решений на основе геометрического смысла уравнения (12.12). Напомним гео метрический смысл производной dM/dt. В плоскости (M,t) для кривой M(t) величина dM/dt равна тангенсу угла наклона каса
тельной к кривой. Следовательно, |
зная зависимость dM/dt от |
|
переменных М, t, выраженную |
|
|
уравнением (12.12), можно най |
|
|
ти направление касательной к |
|
|
кривой, являющейся графиком |
|
|
решения данного уравнения. |
|
|
Направление |
касательной |
|
можно показать |
на рисунке, |
|
проведя через любую точку (M,t) |
|
|
маленький отрезок прямой под |
|
|
углом ф так, что |
tgcp = f(M, t) |
Рис. 12.3. Геометрическая ин- |
(рис.12.3). |
|
терпретация решений диффе |
|
|
ренциального уравнения |
233
Если увеличить число точек, в которых проведено направле ние касательной, то, как видно из рисунка, образуется множест во кривых, являющихся решением дифференциального уравне ния (12.12). Это уравнение имеет бесконечное множество решений, а через каждую точку (М0, tQ) плоскости проходит од но решение. Таким образом, для того чтобы получить конкрет ное решение уравнения, надо задать начальное условие (М0, t0).
Решением дифференциального уравнения называется функ ция, которая, будучи подставлена в это уравнение, обращает его в тождество. Графики решения дифференциального уравнения на зываются интегральными линиями этого уравнения. Рассмотрим несколько примеров.
Занимаясь вопросами наукометрии, В.В.Налимов сформули ровал две модели развития науки [8]. В простейшей модели пред полагается, что скорость роста числа публикаций пропорциональ на их достигнутому числу:
dy/dt = ky, |
(12.13) |
где у — число публикаций; k — константа. Решениями уравне ния являются функции типа е', т.е. с увеличением времени t число публикаций растет экспоненциально.
Так как при t —> °о функция y(t) = е' принимает бесконечно боль шие значения, модель (12.13) справедлива только на ограничен ном временном интервале. Ясно, что при некотором t = t* меха низм роста числа публикаций должен измениться. Для любого научного направления наступает этап насыщения (торможения).
Рассмотрим уравнение
dy/dt=ky(b - у), |
(12.14) |
где k и b — константы. Когда у увеличивается |
и становится |
сравнимым по величине с Ь, то (Ь-у) —> 0 и, следовательно, dy/ dt —» 0, т.е. рост у прекращается.
Отметим, что данное логистическое уравнение является нели нейным, так как его правая часть содержит у2.
В приведенных примерах динамическая модель описывается одним дифференциальным уравнением. Значительно более реали стические модели можно получить, рассматривая совокупность уравнений.
Системой дифференциальных уравнении называется совокуп ность уравнений, содержащих несколько неизвестных функций и
234
их производные. Решением системы дифференциальных |
урав |
нений называется совокупность функций yt(t) (£=1, ..., п), |
кото |
рые при подстановке в уравнения обращают их в тождества.
В данном учебном пособии рассматриваются системы диффе ренциальных уравнений, содержащие столько уравнений, сколь ко в них входит неизвестных функций, при этом все они являются функцией одной независимой переменной t.
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений следую
щего вида: |
|
|
|
|
dx |
I dt |
- Р(х, |
у); |
(12.15) |
dy |
1 |
= Q(x, |
У |
|
I dt |
у). |
|
Отметим, что в правых частях уравнений переменная t в явном виде не содержится. Такие системы называются автономными динамическими системами второго порядка. Основная геомет рическая интерпретация системы (12.15) связана с рассмотрени ем плоскости (х, у), называемой фазовой плоскостью, и сущест венно отличается от геометрической интерпретации, описанной выше. Ее можно назвать кинематической, так как в этой интер претации каждому решению ставится в соответствие движение точки по кривой, а не кривая в пространстве.
Системы типа (12.15) используются для описания эволюци онных процессов. Точка фазового пространства определяет со стояние системы. Приложенный к этой точке вектор с коорди натами dx/dt, dy/dt задает скорость изменения состояния. Точка,
где этот вектор обращается в нуль, т.е. dx/dt=dy/dt=0, |
называ |
ется положением равновесия, или особой точкой системы. |
|
Решения системы (12.15) будем изображать параметрически |
|
ми кривыми на фазовой плоскости (х, у): х = <p(t), у |
= V(t). Со |
поставим геометрическую интерпретацию системы (12.15) в про странстве (х,у,t) с интерпретацией на фазовой плоскости.
1.В каждую траекторию фазовой плоскости проектируется совокупность интегральных кривых в пространстве (х, у, t). Эти кривые получаются друг из друга заменой t на t-C, где С — произвольная константа (рис. 12.4, а).
2.Если точка (а, Ь) является состоянием равновесия системы (12.15) Р(а, Ъ) = 0; Q{a, b) = 0, то интегральная кривая будет пря мой, параллельной оси t. Эта прямая проектируется на плос
кость (х, у) в единственную точку (а, Ь).
3. Если система имеет периодическое решение с периодом а, то в пространстве (х, у, t) соответствующая интегральная кривая
235
а) б)
Рис. 12.4. Поведение решений в пространстве (я, у, t) и на фазовой плос кости
представляет собой спираль с шагом а. Эта спираль проектиру ется на фазовую плоскость в замкнутую кривую (рис. 12.4, б).
При проекции спирали на плоскость (х, t) или (у, t) получим синусоидальную кривую, которая показывает изменение пере менной x(t) или y(t).
Системы дифференциальных уравнений часто используются для описания работы технических устройств (механических, элек трических и т.д.). Так как система дифференциальных уравнений имеет бесконечное множество решений (конкретное решение оп ределяется начальными условиями), то и технические устройства (машины, механизмы) могут иметь бесконечное множество режи мов. На практике эти устройства работают во вполне определен ных режимах, что может объясняться выбором конкретных началь ных условий и тем, что устройство само стабилизует свою работу.
Рассмотрим хрестоматийный пример стенных часов с маят ником. Если маятник отклонить от вертикального положения достаточно сильно, то часы будут идти с определенной амплиту дой колебаний очень долго. Если маятник отклонить недоста точно сильно, то после небольшого числа колебаний он остано вится. Таким образом, у данной динамической системы существуют два стационарных решения: периодическое решение, соответствующее нормальному ходу часов, и состояние равнове сия — скорость маятника равна нулю. Всякое другое из беско нечного множества решений быстро приближается к одному из двух стационарных решений, каждое из которых является ус тойчивым в том смысле, что решение, не слишком сильно откло-
236
няющееся от стационарного в начальный момент, стремится к стационарному.
В окрестности особых точек фазовые траектории могут быть шести типов, схематично показанных на рис. 12.5 (стрелки на фа зовой траектории указывают направление изменения параметра t).
На рис. 12.5 особая точка условно помещена в начало коор динат. Траектории, которым принадлежит особая точка на рис. 12.5,5, называются сепаратрисами.
г) |
Э) |
Рис. 12.5. Фазовые траектории в окрестности особой точки:
а — устойчивый узел; б — неустойчивый узел; в — устойчивый фокус; г — неустойчивый фокус; д — "седло"
Классификация типов поведения фазовых кривых в окрестно сти особой точки была осуществлена великим французским мате матиком и философом Анри Пуанкаре (1854-1912), который ввел также понятие предельного цикла, играющее важнейшую роль в различных приложениях теории дифференциальных уравнений.
Предельным циклом дифференциального уравнения называ ется изолированное периодическое решение этого уравнения (рис. 12.6). Для качественного исследования поведения дина мической системы достаточно определить состояния равновесия, наличие предельных циклов, ход сепаратрис. С точки зрения
237
|
качественного исследования знание |
|
точной формы траекторий не пред |
|
ставляет интереса. |
|
В настоящее время качественное |
|
изучение моделей эволюционных |
|
процессов стало доступно широко |
|
му кругу пользователей благодаря |
Рис. 12.6. Предельный цикл |
наличию и стремительному совер |
|
шенствованию соответствующего |
программного обеспечения (пакеты прикладных программ DYANA, STELLA, Mathcad, Mathlab, Mathematica и др.). Не составляет труда получить достаточно точное решение дифференциального уравне ния с помощью Excel [6].
Вместо решения дифференциального уравнения можно иссле довать его аналог — разностное уравнение. Последнее можно счи тать приближенной моделью дифференциального уравнения. Сле дует иметь в виду, что решения разностного уравнения часто ведут себя менее гладко, чем решения дифференциального урав нения. В разностной модели учитывается поведение системы толь ко на концах дискретных временных интервалов, тогда как диф ференциальное уравнение описывает непрерывное течение процесса при каждом t.
При моделировании социальных процессов считается, что раз ностные уравнения более точно описывают процессы, связанные с электоральным циклом [23]. Действительно, возвращаясь к моде ли мобилизации из § 12.2, заметим, что процесс мобилизации можно считать дискретным, так как его действие проявляется в основном в период выборов.
Как будет показано в следующем параграфе, в простых слу чаях качественный анализ поведения системы может быть про делан без использования ЭВМ.
12.4. Модель гонки вооружений Ричардсона
Рассмотрим следующую ситуацию, в которой могут оказаться две враждующие страны. Первая страна ("желтые") вооружается, опасаясь потенциальной угрозы войны с соседней враждебной стра ной ("зеленые"). В свою очередь "зеленые", зная о росте затрат на вооружение у "желтых", также увеличивают расходы на воо ружение. Предположим, что каждая страна изменяет скорость роста (сокращения) вооружений пропорционально уровню затрат другой. Математически эта ситуация может быть смоделирована
238
следующим образом. Пусть x(t) — расходы на вооружение "жел тых" к моменту t >0, y(t) — то же, но "зеленых". Тогда простей шая модель гонки вооружений может быть сформулирована в виде системы двух линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами:
dx I dt- |
ay, |
|
dy/dt |
= bx, |
< 1 2 Л 6 ) |
где а и Ь — положительные константы. Эти уравнения описывают положительную обратную связь.
Модель (12.16) имеет очевидный недостаток: рост затрат на воо ружение ничем не лимитируется. Естественно предположить, что чем больше текущий уровень затрат на оборону, тем меньше ско рость его роста (отрицательная обратная связь). Получаем сле дующую систему уравнений:
dx I dt |
= ay - |
тх, |
(12.17) |
dy I dt |
= bx - |
ny, |
|
где a, b, m, n — положительные константы.
Рассмотрим третий постулат, включенный Л. Ричардсоном в модель: государство наращивает вооружение, руководствуясь своими державными притязаниями и враждебностью к другим государствам, даже если другие страны не угрожают существо ванию данного государства. Обозначим соответствующие коэф фициенты претензии через г и s (r>0 и s>0). Если г<0 и s<0, то их можно назвать коэффициентами доброй роли. Получаем сле
дующую систему уравнений: |
|
|
|
|
dx |
I dt |
- ay - тх |
+ г, |
|
dy |
I dt |
= bx-ny |
+ s, |
(12.18) |
Решением системы (12.18) являются функции x(t) и y(t), определяемые для данных начальных условий х0, у0 (начальное состояние гонки вооружений) [13, 24-26].
Элементарный анализ модели. Одним из важнейших свойств, которые "разумно" потребовать от гонки вооружений, является стабильность. Формализуем это требование следующим образом.
239