§ 4. Приведение матрицы линейного преобразования к диагональному виду.

Во многих практических задачах бывает важно привести матрицу линейного преобразования к простейшей форме. Очевидно, простейшей формой для матрицы является диагональная форма. В настоящей главе мы рассмотрим достаточные условия того, чтобы, за счет выбора базы линейного пространства, можно было получить диагональную матрицу линейного преобразование .

Для решения этой задачи сначала докажем теорему, непосредственно использующую определение собственных значений и собственных векторов линейного преобразования:

Теорема: (10.5)

Линейное преобразование , тогда и только тогда задаётся в базе e=(e1,e2,…,en) диагональной матрицей, если все векторы этой базы являются собственными векторами этого преобразования.

►Действительно, равенство: == равносильно тому, что в - ой строке матрицы преобразования в указанной базе, равны нулю все элементы, стоящие вне главной диагонали, а на главной диагонали стоит число : = ·. ◄

Следующая теорема устанавливает важное отношение между собственными векторами:

Теорема: (10.6)

Собственные векторы и линейного преобразования , относящиеся к разным собственным числам и , линейно независимы.

►Допустим, что всё-таки нашлись такие, не равные нулю, числа и , что выполняется равенство: +=0. (16)

Применим к (16) преобразование : +=0, и вычтем из этого равенства равенство (16), умноженное на число . Получим невозможное равенство:

(–)=0,

так как по условию собственные числа и - различны. ◄

Следствие: Всякая матрица, все характеристические корни которой действительны, подобна диагональной матрице, то есть матрица преобразования приводится к диагональной форме, если существует база , составленная из собственных векторов линейного преобразования . Рассмотренные примеры достаточно полно иллюстрируют особенности поиска диагональной матрицы для разных линейных преобразований .

☺☺

Пример 10–15:Найти собственные векторы линейного преобразования , заданного в некотором базисе матрицей: .

Решение:

1). Составляем характеристический многочлен и находим его корни, используя свойства определителя и правила нахождения корней многочлена:

===,

откуда корни многочлена : = -1, = 6.

2). Записываем систему уравнений для нахождения собственных векторов линейного преобразования, соответствующим найденным собственным значениям: (A)

3). Для собственного значения = -1 система (A) принимает вид:

Так как определитель системы равен нулю, то независимых уравнений только одно. Назначаем свободной неизвестной =–, тогда = , получаем собственный вектор: =(1, -1).

4). Для собственного значения = 6 система (A) принимает вид:

Так как определитель системы равен нулю, то независимых уравнений только одно. Назначаем свободной неизвестной =5, тогда =2, получаем собственный вектор: =(2, 5).

3) Построим базис из собственных векторов и составляем для этого базиса диагональную матрицу линейного преобразования: =.

Ответ: собственные значения: = -1, = 6; собственные векторы: = -1 имеем: =(1, -1), для = 6 имеем: =(2, 5). Диагональная форма матрицы линейного преобразования в базисе имеет простейший вид: .

Пример 10–16:Линейное преобразование , заданного матрицей: в некотором базисе пространства .Можно ли привести матрицу преобразования к диагональному виду. Если можно, найти базис, в котором такая запись возможна.

Решение:

1). Составляем характеристический многочлен и находим его корни, используя свойства определителя и правила нахождения корней многочлена:

== (1) == (2) →

=(1–)·= (3) =(1–)·= (4) →

=(1–)·= (5) =–(1–)·(1+)·= .

Выполнены операции: (1): [R1]+[R2]+[R3]+[R4]. (2): вынесен общий множитель первой строки. (3): [R4]–[R1]. (4): разложим определитель по первому столбцу. (5): разложим определитель по третьему столбцу.

Получены характеристические корни: ==1, ==–1.

2). Записываем систему уравнений для нахождения собственных векторов линейного преобразования, соответствующим найденным собственным значениям: (A)

3). Для собственного значения = 1 система (A) принимает вид:

или (B)

Ранг системы уравнений (B) равен двум. Это значит, что ФСР этой системы уравнений содержит два независимых решения. Примем: =,=. Найдём фундаментальную систему решений для системы (B):

	x1	x2	x3	x4
α1	0	1	1	0
α2	1	0	0	1

Векторы-решения иесть ФСР для=1, тогдасобственные векторы: =(0,1,1,0), =(1,0,0,1).

4). Для собственного значения =–1 система (A) принимает вид:

или (C)

Ранг системы уравнений (C) равен двум. Это значит, что ФСР этой системы уравнений содержит два независимых решения. Примем: =,=. Найдём фундаментальную систему решений для системы (C):

	x1	x2	x3	x4
α1	0	1	-1	0
α2	1	0	0	-1

Векторы-решения иесть ФСР для=–1, тогдасобственные векторы: =(0,1,-1,0), =(1,0,0,-1).

5). В соответствии с теоремой 10.4 совокупность векторов , , , независима, и её достаточно, чтобы построить базу линейного пространства . Это значит: матрица заданного линейного преобразования к диагональному виду приводится.

Ответ: матрица приводится к диагональному виду: в базе: =(0,1,1,0), =(1,0,0,1), =(0,1,-1,0), =(1,0,0,-1).

☻

Набор поясняющих примеров иллюстрирует наиболее сложные теоретические вопросы и предлагает рациональные схемы вычислений участвующих величин.