16

ЛА: Введение и Глава 1

Московский государственный институт электронной техники

(технический университет)

А. И. Литвинов, Д. А. Литвинов

МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ

для самостоятельной работы студентов

по «Линейной алгебре»

Утверждено методическим советом каф. ВМ-2

Зав. кафедры С. Г. Кальней

МИЭТ, 2010 г.

—————————————————————————————————

…Ученье – свет!..

А неучёных тьма!.

(Народное творчество)

Пособие соответствует утвержденному «Семестровому плану» по предмету «Линейная алгебра» факультета ЭТМО – семестр 1.

При подготовке пособия учитывалась тесная связь и взаимное проникновение средств аналитической геометрии и линейной алгебры.

Высшая алгебра содержит много направлений и продолжает интенсивно развиваться. Как и всякая другая математическая наука, алгебра эффективно обслуживает многие области знаний и практики. Изучаемый на факультете ЭТМО курс затрагивает только небольшую часть алгебры – «линейную алгебру». Учитывая непривычность используемых в линейной алгебре математических конструкций, одной из важных задач данного пособия было иллюстрировать и максимально формализовать процесс изучения предмета и его практического использования. Представленные в пособии примеры должны помочь студентам выполнить все текущие задания, а также качественно подготовиться к зачетам и экзаменам по настоящему курсу.

Основные обозначения:

► и ◄ - начало и окончание доказательства.

☺☺ - поясняющие примеры.

Пример G–Х: - обозначение поясняющих примеров, где «G» указывает номер главы, в которой приводится пример, «Х» - порядковый номер поясняющего примера в главе.

☻ - окончание блока поясняющих примеров.

☺☻☺ - обобщающие примеры.

Пример N–Х: - обозначение обобщающих примеров, где «N» указывает порядковый номер примера в изучаемой главе, «Х» - номер задачи в базовом задачнике по изучаемому предмету.

☻ - окончание блока обобщающих примеров.

а A - элемент а принадлежит множеству A.

а A - элемент а не принадлежит множеству A.

N - множество натуральных чисел.

Z - множество целых чисел.

Q - множество рациональных чисел.

R - множество вещественных чисел.

C - множество комплексных чисел.

а - вектор.

|а| - длина (норма) вектора.

a+b - сумма векторов a и b.

λa - произведение вектора a на число λ.

(a,b) - скалярное произведение векторов a и b.

det A - определитель матрицы A.

A^-1 - обратная матрица к матрице A.

Буквы латинского алфавита

Начертание	Произношение	Начертание	Произношение	Начертание	Произношение
A a	а	J j	йот	S s	эс
B b	бэ	K k	ка	T t	тэ
C c	цэ	L l	эль	U u	у
D d	дэ	M m	эм	V v	вэ
E e	е	N n	эн	W w	дубль-вэ
F f	эф	O o	о	X x	икс
G g	же	P p	пэ	Y y	игрек
H h	аш	Q q	ку	Z z	зэт
I i	и	R r	эр

Буквы греческого алфавита

Начертание	Произношение	Начертание	Произношение	Начертание	Произношение
A α	альфа	I ι	йота	P ρ	ро
B β	бета	K κ	каппа	Σ σ	сигма
Г γ	гамма	Λ λ	ламбда	T τ	тау
Δ δ	дельта	M μ	ми	Υ υ	ипсилон
E ε	эпсилон	N ν	ни	Ф φ	фи
Z ζ	дзета	Ξ ξ	кси	X χ	хи
H η	эта	O ο	омикрон	Ψ ψ	пси
Θ θ	тэта	П π	пи	Ω ω	омега

Представлен наиболее употребительный (но не единственный) вариант произношения (в частности, вместо «же» говорят также «ге», вместо «жи» - «йот»).

Таблица важных «алгебраических действий»

(для успешно сдавших ЕГЭ)

										│
	1	х	1	=	1			2	х	1	=	2			3	х	1	=	3
	1	х	2	=	2			2	х	2	=	4			3	х	2	=	6
	1	х	3	=	3			2	х	3	=	6			3	х	3	=	9
	1	х	4	=	4			2	х	4	=	8			3	х	4	=	12
	1	х	5	=	5			2	х	5	=	10			3	х	5	=	15
	1	х	6	=	6			2	х	6	=	12			3	х	6	=	18
	1	х	7	=	7			2	х	7	=	14			3	х	7	=	21
	1	х	8	=	8			2	х	8	=	16			3	х	8	=	24
	1	х	9	=	9			2	х	9	=	18			3	х	9	=	27
										│

										│
	4	х	1	=	4			5	х	1	=	5			6	х	1	=	6
	4	х	2	=	8			5	х	2	=	10			6	х	2	=	12
	4	х	3	=	12			5	х	3	=	15			6	х	3	=	18
	4	х	4	=	16			5	х	4	=	20			6	х	4	=	24
	4	х	5	=	20			5	х	5	=	25			6	х	5	=	30
	4	х	6	=	24			5	х	6	=	30			6	х	6	=	36
	4	х	7	=	28			5	х	7	=	35			6	х	7	=	42
	4	х	8	=	32			5	х	8	=	40			6	х	8	=	48
	4	х	9	=	36			5	х	9	=	45			6	х	9	=	54
										│

										│
	7	х	1	=	7			8	х	1	=	8			9	х	1	=	9
	7	х	2	=	14			8	х	2	=	16			9	х	2	=	18
	7	х	3	=	21			8	х	3	=	24			9	х	3	=	27
	7	х	4	=	28			8	х	4	=	32			9	х	4	=	36
	7	х	5	=	35			8	х	5	=	40			9	х	5	=	45
	7	х	6	=	42			8	х	6	=	48			9	х	6	=	54
	7	х	7	=	49			8	х	7	=	56			9	х	7	=	63
	7	х	8	=	56			8	х	8	=	64			9	х	8	=	72
	7	х	9	=	63			8	х	9	=	72			9	х	9	=	81
										│

(… намёк, добрым молодцам урок!..)

СОДЕРЖАНИЕ:

Стр.

Глава 1. Общие сведения.

§ 1. Числовое кольцо и поле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

§ 2. Комплексные числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

§ 3. Матрица . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

§ 4. Метод математической индукции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

§ 5. Элементы комбинаторики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

§ 6. Бином Ньютона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

Вопросы для самопроверки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

Глава 2. Определители 2-го и 3-го порядков.

§ 1. Определители второго порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

§ 2. Определители третьего порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

§ 3. Обобщающие примеры по теме «Определители 2-го и 3-го порядка» . . . . . . . . . . . . . . 35

Вопросы для самопроверки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

Глава 3. Определители n-го порядка.

§ 1. Перестановки и подстановки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

§ 2. Определители n-го порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

§ 3. Обобщающие примеры по теме «Определители n-го порядка» . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

Вопросы для самопроверки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

Глава 4. Алгебра матриц.

§ 1. Сложение матриц . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

§ 2. Умножение матрицы на число . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

§ 3. Умножение матрицы на матрицу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

§ 4. Теорема умножения определителей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

§ 5. Обобщающие примеры по теме «Алгебра матриц» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

Вопросы для самопроверки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

Глава 5. Обратная матрица.

§ 1. Определение единичной матрицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

§ 2. Определение обратной матрицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

§ 3. Вычисление обратной матрицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

§ 4. Матричное уравнение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

§ 5. Обобщающие примеры по теме «Обратная матрица» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

Вопросы для самопроверки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

Глава 6. Линейное пространство n-векторов.

§ 1. Определение n-векторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

§ 2. Линейная зависимость n-векторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

§ 3. Ранг системы n-векторов и матрицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

§ 4. Обобщающие примеры по теме: «Линейное пространство n-векторов» . . . . . . . . . . . . 125

Вопросы для самопроверки . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

Глава 7. Системы линейных неоднородных уравнений.

§ 1. Классификация систем линейных уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

§ 2. Решение системы уравнений методом Гаусса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

§ 3. Решение системы уравнений по правилу Крамера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

§ 4. Исследование (решение) системы уравнений в общем случае . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

§ 5. Обобщающие примеры по теме «Системы линейных неоднородных уравнений» . . . . 149

Вопросы для самопроверки . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

Глава 8. Системы линейных однородных уравнений – ЛОУ.

§ 1. Общая запись системы однородных линейных уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

§ 2. Решение системы однородных уравнений методом Гаусса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

§ 3. Общее и частное решения системы линейных однородных уравнений . . . . . . . . . . . . 160

§ 4. Фундаментальная система решений системы ЛОУ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

§ 5. Связь решений неоднородной и однородной систем уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

§ 6. Обобщающие примеры по теме: «Системы однородных линейных уравнений» . . . . . 173

Вопросы для самопроверки . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

Глава 9. Линейные векторные пространства.

§ 1. Определение линейного векторного пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

§ 2. База (базис) в - мерном векторном пространстве . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

§ 3. Матрица перехода от базы к базе в - мерном векторном пространстве . . . . . 188

§ 4. Изоморфизм - мерных векторных пространств . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

§ 5. Подпространства линейного пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

§ 6. Преобразование координат вектора при переходе к новой базе. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

§ 7. Обобщающие примеры по теме: «Линейные векторные пространства» . . . . . . . . . . . . 199

Вопросы для самопроверки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

Глава 10. Линейные преобразования (операторы).

§ 1. Определение линейного преобразования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

§ 2. Операции над линейными преобразованиями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

§ 3. Преобразование матрицы линейного оператора при переходе к новому базису . . . . . 215

§ 4. Область значений и ядро линейного преобразования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

§ 5. Характеристические корни, собственные значения и собственные векторы

линейного преобразования векторного пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

§ 6. Приведение матрицы линейного преобразования к диагональному виду . . . . . . . . . . 224

§ 7. Обобщающие примеры по теме: «Линейные преобразования» . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

Вопросы для самопроверки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239

Глава 11. Квадратичные формы.

§ 1. Определение. Преобразования квадратичной формы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241

§ 2. Закон инерции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251

§ 3. Положительно и отрицательно определенные формы. Критерий Сильвестра . . . . . . 257

§ 4. Обобщающие примеры по теме: «Квадратичные формы» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263

Вопросы для самопроверки . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272

Глава 12. Евклидовы векторные пространства.

§ 1. Определение. Изоморфизм евклидовых пространств . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274

§ 2. Длина вектора. Угол между векторами. Неравенство Коши-Буняковского . . . . . . . . 275

§ 3. Ортогональная система векторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278

§ 4. Ортонормированный базис евклидова пространства. Ортогональное дополнение . . . 278

§ 5. Линейные преобразования евклидова пространства.

Ортогональные и симметрические преобразования евклидова пространства . . . . . . . 282

§ 6. Приведение квадратичной формы к главным осям . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293

§ 7. Пары форм . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299

§ 8. Обобщающие примеры по теме: «Евклидовы векторные пространства». . . . . . . . . . . 302

Вопросы для самопроверки . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309

Глава 1. Общие сведения.

В настоящей главе представлены сведения, которые должны быть известны студентам из школьной программы. Не все школы уделяют достаточно внимания систематизации основных понятий и принятых в математической литературе обозначений. Представленная информация поможет более эффективному изучению предмета.

§ 1. Числовое кольцо и поле.

Определение 1. Всякая система чисел, содержащая сумму, разность и произведение любых двух своих чисел, называется числовым кольцом.

Примеры числовых колец:
1.	целые числа – Z;	5.	четные числа (обозначение: 2k);
2.	рациональные числа – Q;	6.	целые числа, нацело делящиеся на целое число k;
3.	действительные числа - R;	7.	несократимые дроби, знаменатели которых являются степенями простого числа p.
4.	комплексные числа – C;

Если какая-либо операция (сумма, разность или произведение) выводит из рассматриваемой системы чисел, то такая система чисел кольцом не является.

Числовыми кольцами не являются:
1.	натуральные числа – N	- при a=b не существует a–b, так как N не содержит числа 0 (нуль); - при a b не существует либо число a–b, либо b–a, так как одно из них отрицательно, а таких нет среди N.
2.	система положительных чисел – R+	не существует либо a–b, либо b–a: одно из них отрицательно, а таких нет среди R+;
3.	система отрицательных чисел – R–	произведение отрицательных чисел a,b есть число положительное, а таких нет среди R–;
4.	нечетные числа – N2k+1	сумма и разность нечетных чисел есть число четное, а таких нет среди N2k+1.

Определение 2. Числовым полем называется числовое кольцо, которое содержит частное любых своих двух чисел (делитель, конечно, отличен от нуля).

Примеры числовых полей:

- рациональные числа – Q;

- действительные числа – R;

- комплексные числа – C.

§ 2. Комплексные числа.

В обозначении первый индекс указывает на номер строки, а второй – на номер столбца, на пересечении которых этот элемент располагается. Обозначение матрицы:

§ 3. Матрица.

Матрицей называется прямоугольная таблица, состоящая из s строк и n столбцов; числа называются элементами матрицы. Мы будем рассматривать матрицы, элементами которых могут быть элементы любого числового поля. В обозначении первый индекс указывает на номер строки, а второй – на номер столбца, на пересечении которых этот элемент располагается. Обозначение матрицы:

(1)

Если число строк равно числу столбцов, т.е. = , то матрица называется квадратной матрицей порядка n. Диагональ матрицы, идущая из левого верхнего угла в правый нижний угол и состоящая из элементов: a₁₁, a₂₂,..., , называется главной диагональю. Диагональ, идущая из левого нижнего угла в правый верхний и состоящая из элементов: , называется побочной диагональю. Квадратная матрица порядка n называется единичной матрицей порядка n, если все элементы ее главной диагонали равны единице, а все элементы вне этой диагонали равны нулю. Любая матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой.

Если в матрице A записать строку- в виде столбца- , для всех , то есть поменять ролями строки и столбцы, то говорят, что матрица транспонирована:

→ (1)

§ 4. Метод математической индукции.

Заметим, что метод математической индукции достаточно широко используется в математике. В линейной алгебре этот метод особенно эффективен, так как алгебраические конструкции очень часто используют параметр последовательности .

Приведённая ниже теорема устанавливает правило доказательства утверждений, учитывающих параметр .

Теорема: (1.1)

Пусть и для всякого имеется высказывание (утверждение) – , причём известно, что: 1) при значении параметра = высказывание верно; 2) для всякого : если из допущения = (верно) → = (верно). Тогда высказывание верно для всех натуральных чисел

► Допустим противное: найдётся такое , для которого утверждение неверно. Но, тогда утверждение = (верно).

Но, в соответствии с теоремой, мы получали: = (верно) → = (верно). Полученное противоречие означает: теорема доказана! ◄

Рассмотрим несколько примеров, иллюстрирующих применение метода математической индукции.

☺☺

Пример 1–01: Пусть имеем последовательность: 1, 2, ... , . Если =1+2+ ... + , то (утверждение): = верно для любого .

Решение:

1). Проверим условие: для =1 имеем = =1 → высказывание верно.

2). Пусть верно. Проверим: = +( +1)= → для ( +1) высказывание также верно.

3). Тогда утверждение (формула) верно для всех .

Ответ: выражение для утверждения есть формула суммы чисел: 1+2+ ... + .

Пример 1–02: Пусть имеем последовательность: 1, 2, 4,..., . Если =1+2+...+ , то (утверждение): = -1 верно для любого .

Решение:

1). Учитывая что , видим: при =1 имеем =1 → высказывание верно.

2). Пусть верно. Проверим: = + = -1+ = -1 → для ( +1) высказывание также верно.

3). Тогда утверждение (формула) верно для всех .

Ответ: выражение для утверждения есть формула суммы чисел: 1+2+...+ .

Пример 1–03: Пусть имеем последовательность: 1², 2²,..., . Если =1²+2²+...+ , то (утверждение): = верно для любого .

Решение:

1). Проверяем при =1: =1 = → высказывание верно.

2). Пусть верно. Проверим: = +( +1)² =( +1) . После несложных преобразований: = → для ( +1) высказывание также верно.

3). Тогда утверждение (формула) верно для всех .

Ответ: выражение для утверждения есть формула суммы чисел: 1+2+...+ .

Пример 1–04: Доказать, что неравенство: > верно при всех .

Решение:

1). Учитывая что > , видим: при =5 имеем: → высказывание P(5) – верно.

2). Пусть >5 и P( ) верно. Проверим: > . Так как >5, то очевидна цепочка неравенств = ·2>2 > +3 > +2 +1 → для ( +1) высказывание также верно.

3). Тогда утверждение (формула) верно для всех .

Ответ: неравенство доказано.

Пример 1–05: Имеем последовательность: 1·2, 2·5,..., (3 -1). Если =1·2+2·5+...+ (3 -1), то (утверждение): = ·( +1) верно для любого .

Решение:

1). Проверяем при =1: =2 = ·(1+1) → высказывание верно.

2). Пусть верно. Проверим: = +( +1)²(3( +1)-1) =( +1)( +3 +2). После несложных преобразований: =( +1)²(( +1)+1) → для ( +1) высказывание также верно.

3). Тогда утверждение (формула) верно для всех .

Ответ: выражение для утверждения есть формула суммы чисел: 1·2+2·5+...+ (3 -1).

Пример 1–06: Пусть имеем последовательность: 1⁵, 2⁵,..., . Если =1⁵+2⁵+...+ , то (утверждение): = верно для любого .

Решение:

1). Проверяем при =1: =1 = → высказывание верно.

2). Пусть верно. Проверим: = +( +1)⁵ = (2 +14 +35 +36 +12). Догадка: если формула верна, то полученное выражение должно делиться на многочлен: (( +1)+1)² без остатка. Применяя деление уголком, к многочлену 4-й степени, получаем для него многочлен-частное: (2 +6 +3)=(2 +2( +1)–1), после несложных преобразований: = → для ( +1) высказывание также верно.

3). Тогда утверждение (формула) верно для всех .

Ответ: выражение для утверждения есть формула суммы чисел: 1⁵+2⁵+...+ .

Пример 1–07: Пусть имеем последовательность: , ,..., . Для последовательности записана сумма: = + +...+ . Утверждение (формула): = верно для любого .

Решение:

1). Проверяем при =1: = = = → высказывание верно.

2). Пусть верно. Проверим: = + = . Догадка: если формула верна, то числитель дроби должен делиться на скобку (n+1) без остатка. Применяя деление уголком, достаточно просто получаем в числителе многочлен-частное: ( +5 +4)=( +1)( +4), то есть: = → для ( +1) высказывание также верно.

3). Тогда утверждение (формула) верно для всех .

Ответ: выражение для утверждения есть формула суммы последовательности.

Замечания: 1) Рассмотренные примеры предлагали неизвестные многим формулы и неравенства, и нужно было, применяя метод математической индукции, убедиться в их верности. Этот же метод может помочь вспомнить уже известную формулу!

2) Интересно самому получить формулу для записанной последовательности: это требует находчивости исследователя!

Пример 1–08: Пусть имеем последовательность: , ,..., . Для последовательности записана сумма: = + +...+ . Для этой суммы требуется найти формулу для суммы при любом .

Решение:

1). Запишем равенство: 2· = – .

2). Тогда можем записать: = · , откуда следует формула для суммы членов последовательности: = .

3). Нужно доказать, что формула верна для любого . Применим метод математической индукции!

4). Проверяем при =1: = = → высказывание верно.

5). У нас верно! Проверим: = + = . Догадка: если формула верна, то числитель дроби должен делиться на скобку (2n+1) без остатка. Применяя теорему Вьета, в числителе получим: (2 +3 +1)=( +1)(2 +1), то есть: = → для ( +1) высказывание также верно.

6). Тогда утверждение (формула) верно для всех .

Ответ: получена формула: = для суммы заданной последовательности.

Пример 1–09: Пусть имеем две числовые последовательности: , . Известно, что некоторого верно: > , и для всех верно неравенство: ( )>( ). Доказать, что для всех верно неравенство: .

Решение:

1). По условию: при значении высказывание верно.

2). Сложив неравенства: ( ) >( ) и , получаем → высказывание верно для ( +1).

3). Тогда утверждение верно для всех .

Ответ: теорема доказана; представляет интерес её применение!

Пример 1–10: Доказать неравенство, что + + .... + > выполняется для всех натуральных .

Решение:

1). Проверим выполнение неравенства при =3: = + + = > → верное.

2). Запишем: ( )= +....+ + + – – –....– , которое, достаточно просто, преобразуем к виду: ( )= – >0. Вычисление разности: ( )=0 → получаем → высказывание верно для ( +1).

3). Тогда утверждение верно для всех .

Ответ: теорема доказана; полученное неравенство применяют в математическом анализе при доказательстве расходимости гармонического ряда: = + +....+ !

Пример 1–11: Пусть , – две последовательности положительных чисел. Известно, что некоторого верно: > , и для всех верно неравенство: > . Доказать, что для всех верно неравенство: .

Решение:

1). По условию: при значении высказывание верно.

2). Перемножив неравенства: > и , получаем → высказывание верно для ( +1). При перемножении неравенств важно требование: члены обеих последовательностей – положительные числа!

3). Тогда утверждение верно для всех .

Ответ: теорема доказана; представляет интерес её применение!

Пример 1–12: Применим результат Примера 1–11 к нескольким уже решённым задачам и к новым!

Решение:

1). Доказать, что неравенство: > верно при всех . В Примере 1–04 показано выполнение неравенства при =5, выполнение неравенства: > при значениях очевидно → высказывание верно для ( +1).

2). Доказать, что неравенство: ! ≥ верно при всех . Выполнение неравенства при =4 - очевидно, выполнение неравенства: > при значениях тоже очевидно → высказывание верно для ( +1).

Ответ: теоремы доказаны эффектно!

Пример 1–13: Доказать, что для любого натурального числа >7 найдутся натуральные числа k,m, такие, что =3k +5m.

Решение:

1). Проверим выполнение неравенства при =8: 8 = 3·1 +5·1 → верное.

2). Пусть P(n) верно для всех значений: =3k +5m. Запишем выражения для:

→ n+1= 3(k+2) +5(m-1) +9=3(k-1) +5(m-1) =3 +5 ;

→ n+2= 3(k+2) +5(m-1) +10=3(k-1) +5(m+1) =3 +5 ;

→ n+3= 3k +5m +3=3(k+1)+5m.

3). Тогда утверждение верно для всех >7.

Ответ: теорема доказана (эффектно!). Шутка: достаточно иметь купюры по 3 и 5 рублей, чтобы разменять любую сумму C ≥8 рублей!

Рассмотренные примеры раскрывают многообразие способов применения метода математической индукции. Важно воспринять великолепное изящество мысли человеческой! Особенно в собственном исполнении каждым обучающимся!..

☻