§ 5. Характеристические корни, собственные значения и собственные

векторы линейного преобразования векторного пространства.

Пусть задана квадратная матрица порядка , элементами которой являются действительные числа. Для каждой такой матрицы может быть построена характеристическая матрица:

–=, (12)

где – некоторое неизвестное действительное число, – единичная матрица порядка .

Определение: (10.2)

Определитель характеристической матрицы: = называется характеристическим многочленом степени ; корни многочлена называют характеристическими: среди корней, в общем случае, могут быть и действительные, и комплексные.

Характеристические матрицы, многочлены и их корни нас интересуют в их применении к линейным преобразованиям. При рассмотрении свойств матрицы линейного преобразования было обнаружено свойство: при изменении базы матрица линейного преобразования претерпевает преобразование подобия. Для подобных матриц имеет место теорема:

Теорема: (10.3)

Пусть имеем подобные матрицы и =, где – матрица перехода от базы к базе . Подобные матрицы имеют одинаковые характеристические многочлены.

►Запишем характеристический многочлен для матрицы : =. Учитывая равенство: =, а также перестановочность числа в произведении матриц, запишем: =. Остаётся применить теорему об определителе произведения матриц: ===, так как: =1. ◄

Следствие: Все матрицы линейного преобразования обладают одинаковыми характеристическими многочленами, следовательно, одинаковыми характеристическими корнями. Поэтому корни характеристического многочлена матрицы линейного преобразования называют характеристическими корнями линейного преобразования .

Характеристические корни линейного преобразования обладают некоторыми особыми свойствами. Использование этих свойств корней привело к понятиям: собственные значения и собственные векторы линейного преобразования.

Пусть в пространстве в некотором базисе задано линейное преобразование . Если найдётся такой, отличный от нуля, вектор , что имеет место равенство:

b = λ₀b. (13)

где - действительное число, то говорят: вектор b – собственный вектор преобразования , а число - собственное значение этого преобразования.

Замечание: нулевой вектор не считают собственным вектором преобразования .

Оказывается, характеристические корни линейного преобразования обладают важным свойством, устанавливаемым следующей теоремой:

Теорема: (10.4)

Действительные характеристические корни линейного преобразования , и только они, служат собственными значениями этого преобразования.

►В определении собственного значения линейного преобразования существенно ограничение: - действительное число. Далее, примем, что матрица задаёт линейное преобразование . Тогда, в соответствии с определением линейного преобразования, и с учётом свойств, установленных в алгебре матриц, можем записать:

b == → → –=0. (14)

Равенство: –=0 означает, что совокупность собственных векторов линейного преобразования определяется совокупностью ненулевых действительных решений системы линейных уравнений:

==0. (15)

Верно и обратное: если есть действительный корень системы уравнений (15), то, проходя цепочку равенств (14) ÷ (15) в обратном направлении, приходим к результату: число есть собственное значение преобразования . ◄

Замечание: В общей теории многочленов с комплексными коэффициентами доказано, что многочлен степени имеет корней, часть из которых – действительные, остальные комплексные. Тогда верно утверждение, обобщающее теорему 10.4: в комплексном линейном пространстве всякое линейное преобразование обладает собственными векторами.

Совокупность собственных векторов преобразования , относящихся к собственному значению λ₀, совпадает с совокупностью ненулевых действительных решений системы уравнений (15): эта система имеет ненулевые решения, так как определитель системы =0.

Следствие: Совокупность собственных векторов линейного преобразования после добавления к ней нулевого решения-вектора является линейным подпространством пространства .

☺☺

Пример 10–11:Найти собственные векторы линейного преобразования , заданного в некотором базисе матрицей: .

Решение:

1). Составляем характеристический многочлен и находим его корни, используя свойства определителя и правила нахождения корней многочлена:

===,

откуда корни многочлена : = -1, = 6.

2). Записываем систему уравнений для нахождения собственных векторов линейного преобразования, соответствующим найденным собственным значениям: (A)

3). Для собственного значения = -1 система (A) принимает вид:

Так как определитель системы равен нулю, то независимых уравнений только одно. Назначаем свободной неизвестной =–, тогда = , получаем собственный вектор: =(1, -1).

4). Для собственного значения = 6 система (A) принимает вид:

Так как определитель системы равен нулю, то независимых уравнений только одно. Назначаем свободной неизвестной =5, тогда =2, получаем собственный вектор: =(2, 5).

Ответ: собственные значения: = -1, = 6; собственные векторы: = -1 имеем: =(1, -1), для = 6 имеем: =(2, 5).

Пример 10–12:Найти собственные векторы линейного преобразования , заданного в некотором базисе матрицей: .

Решение:

1). Составляем характеристический многочлен и находим его корни, используя свойства определителя и правила нахождения корней многочлена:

==(–1)·– (2+) =–,

откуда корни многочлена : === -1.

2). Записываем систему уравнений для нахождения собственных векторов линейного преобразования, соответствующим найденным собственным значениям: (A)

3). Для собственного значения = -1 система (A) принимает вид:

Так как определитель системы равен нулю, то независимых уравнений не более двух (в нашем случае 2). Назначаем свободной неизвестной =–, тогда ==, получаем собственный вектор: =(1,1,–1).

Ответ: собственные значения: === -1; собственные векторы: =(1,1,–1), где  0.

Пример 10–13:Найти собственные векторы линейного преобразования , заданного в некотором базисе матрицей: .

Решение:

1). Составляем характеристический многочлен и находим его корни, используя свойства определителя и правила нахождения корней многочлена:

==(7–)·–10+12,

или =–, откуда корни многочлена : =-1, == 1.

2). Записываем систему уравнений для нахождения собственных векторов линейного преобразования, соответствующим найденным собственным значениям: (A)

3). Для собственного значения = -1 система (A) принимает вид:

Так как определитель системы равен нулю, то независимых уравнений не более двух (в нашем случае 2). Назначаем свободной неизвестной =3, тогда =5,=6, получаем собственный вектор: = (3,5,6).

4). Для собственного значения =1 система (A) принимает вид:

Так как определитель системы равен нулю, то независимых уравнений не более двух (в нашем случае 1). Назначаем свободными неизвестными: ,, тогда =2–. Найдём фундаментальную систему решений для полученной системы:

	x1	x2	x3
α1	2	1	0
α2	-1	0	1

Векторы-решения иесть ФСР для λ₂=1, тогда любойсобственный вектор линейного преобразования можно представить в виде: = += (2,1,0) +(–1,0,1), где ,- произвольные постоянные.

Ответ: собственные значения: =–1, ==1; собственные векторы: = (3,5,6), где  0; = += (2,1,0) +(–1,0,1), где , 0 одновременно.

Пример 10–14:Найти собственные векторы линейного преобразования , заданного в некоторой базе матрицей: .

Решение:

1). Составляем характеристический многочлен и находим его корни, используя свойства определителя и правила нахождения корней многочлена:

==(1–)=–,

откуда корни многочлена : ==0, ==1.

2). Записываем систему уравнений для нахождения собственных векторов линейного преобразования, соответствующим найденным собственным значениям: (A)

3). Для собственного значения = 0 система (A) принимает вид:

Так как определитель системы равен нулю, то независимых уравнений не более трёх (в нашем случае 2). Назначаем свободными неизвестными: =,=, ==0. Найдём фундаментальную систему решений для полученной системы:

	x1	x4	x2	x3
α1	0	0	1	0
α2	0	0	0	1

Векторы-решения иесть ФСР для= 0, тогда любойсобственный вектор линейного преобразования можно представить в виде: = +=(0,1,0,0) +(0,0,1,0), где ,- произвольные постоянные.

4). Для собственного значения =1 система (A) принимает вид:

Так как определитель системы равен нулю, то независимых уравнений не более трёх (в нашем случае 3). Назначаем свободной неизвестной: =, ===0, тогда получаем собственный вектор: =(0, 0, 0,1).

Ответ: собственные значения: ==0, == 1; собственные векторы: =(0,1,0,0) +(0,0,1,0), где , - не равны нулю одновременно, =(0, 0, 0,1), где  0.

☻