§ 4. Область значений и ядро линейного преобразования векторного пространства.

Если рассмотреть совместно линейные операции с векторами, а также свойства линейного преобразования векторного пространства, то можно получить некоторое обобщение эти двух процессов.

Пусть в пространстве выделено подпространство . Если к каждому вектору применить линейное преобразование , то для преобразования подпространство можно рассматривать, по аналогии с функциями, как область определения преобразования. В таком случае - область значений преобразования . Причём, учитывая линейные свойства векторного пространства и преобразования , легко проверить, что - подпространство пространства .

Пусть для преобразования имеем две подобные матрицы: =. Применяя теорему об определителе произведения матриц, запишем: == =. Это значит, что ранги матриц и одинаковы. Этот общий ранг матриц называют рангом линейного преобразования в пространстве .

Итак, размерность области значений линейного преобразования равна рангу этого преобразования .

Известно, что для нулевого вектора: =0. Может быть и так, что для данного преобразования в пространстве найдётся совокупность таких векторов , что для каждого из них . Тогда - подпространство пространства , что легко проверяется применением линейных свойств операций с векторами и линейного преобразования. Подпространство называют ядром преобразования в пространстве . Размерность этого ядра называется – дефектом преобразования. Обозначим дефект - .

Если линейное преобразование применено ко всему пространству и выделена совокупность векторов , то можно записать разложение пространства: =+. Из сказанного следует вполне очевидная теорема:

Теорема: (10.2)

Для любого линейного преобразования в пространстве сумма ранга и дефекта этого преобразования равна размерности всего пространства, то есть: =+.

Так как ранг преобразования и ранг матрицы, которая его задаёт в пространстве , совпадают, то невырожденная матрица преобразования определяет невырожденное преобразование , и наоборот. Это значит, что для невырожденного линейного преобразования дефект: =0, то есть подпространство содержит только один 0 - ноль.

Из теоремы следуют условия-признаки того, что линейное преобразование невырожденное:

1⁰. Ранг преобразования равен .

2⁰. Область значений преобразования - всё пространство .

3⁰. Дефект преобразования равен нулю.

4⁰. Различные векторы пространства имеют при преобразовании различные образы - особенно важный признак. Действительно, если , то вектор . Если же образ равен образу , то . Но это значит, что содержит ненулевые векторы, то есть дефект не равен нулю. Из этого следует, что линейное преобразование вырожденное.

5⁰. Для преобразования существует обратное линейное преобразование .

☺☺

Пример 10–10: Описать образ и ядро линейного преобразования: 1)=, где |e| = 1; 2)= , где. Линейное преобразование в геометрическом пространствеR₃.

Решение:

1). Известно, что скалярное произведение дает проекцию вектора на направление вектора , а преобразованиедает вектор,коллинеарныйвектору – одномерное подпространство; если=0, то векторортогоналенвектору– двумерное подпространство;

2). Векторное произведение ,: дает двумерное подпространство векторов,ортогональныхвектору;если=0, то получаем одномерное подпространство всех векторов,коллинеарныхвектору.

Ответ: получено геометрическое описание образа и ядра заданных линейных преобразований.

Замечание: представленный пример полезен геометрической иллюстрацией образа и ядра линейного преобразования, особенно при совместном рассмотрении преобразований: =, где используются свойства скалярного произведения, и = со свойствами векторного произведения векторов.

☻