§ 2. Операции над линейными преобразованиями.

Было отмечено, что множество линейных преобразований заданного линейного пространства, при неизменной базе этого пространства, взаимно однозначно отображается на множество квадратных матриц.

Но, известно, что сумма и произведение квадратных матриц есть тоже квадратная матрица, также для матриц определено произведение матрицы на число. Естественно рассмотреть линейные операции над линейными преобразованиями.

Пусть в пространстве заданы линейные преобразования и , причем в некотором базисе (произвольном) матрицей преобразования является матрица , а преобразования - матрица . Пусть имеем произвольный вектор пространства . Этот вектор подвергается некоторому сочетанию линейных преобразований:

1⁰. Сумма линейных преобразований и : такое линейное преобразование, что:

(+)=+.

Действительно, если имеем вектор: =+, то, в соответствии с определением суммы линейных преобразований, верно выражение:

(+)= += +=+=(+)+(+);

если имеем вектор: =, то, в соответствии с определением суммы линейных преобразований, верно выражение:

(+)= += +=+=(+),

то есть сумма линейных преобразований – линейное преобразование.

2⁰. Произведение линейных преобразований и : такое линейное преобразование, что:

()=().

Действительно, если имеем вектор: =+, то, в соответствии с определением произведения линейных преобразований, верно выражение:

()= ===;

если имеем вектор: =, то, в соответствии с определением суммы линейных преобразований, верно выражение:

()()=====.

то есть произведение линейных преобразований – линейное преобразование.

3⁰. Произведение линейных преобразований на число : такое линейное преобразование, что:

=.

Действительно, если имеем вектор: =+, то, в соответствии с определением произведения линейного преобразования на число, верно выражение:

=====.

если имеем вектор: =, то, в соответствии с определением суммы линейных преобразований, верно выражение:

=====,

то есть произведение линейного преобразования на число – линейное преобразование.

Учитывая соответствие линейному преобразованию определенной матрицы (в определенном базисе!): =, =, а также рассмотренные операции с линейными преобразованиями, можем записать:

1⁰: (+)=+=+=;

2⁰: ()=()==; (5)

3⁰: ===;

Учитывая выражения (5), видим, что операции над линейными преобразованиями обладают теми же свойствами, что и операции над матрицами:

- сложение: коммутативно и ассоциативно;

- умножение: ассоциативно, но не коммутативно;

- роль единицы: играет единичная матрица;

- роль нуля: играет нулевая матрица.

Если матрица линейного преобразования – невырожденная, то и само преобразование называют невырожденным. Каждое невырожденное преобразование имеет обратное , такое, что: .

§ 3. Преобразование матрицы линейного оператора при переходе к новому базису.

Как было показано в главе 9, в линейном векторном пространстве существует бесчисленное количество баз, которые все вполне эквивалентны. Тем не менее, при решении конкретной задачи исследователь (специалист) может отдать предпочтение конкретной базе.

Возникает задача: приспособить уже разработанные математические модели к конкретным условиям. Если традиционно задачу решают с использованием базы , то переход к избранной базе осуществляют, используя матрицу перехода от базы к базе . Следует также иметь в виду разные варианты записи баз.

Вариант-1: используем для записи баз матрицы-столбцы:

==·=·, (6)

Отметим, запись баз и использует матрицы-столбцы, составленные из векторов базы.

Пусть в базе пространства линейное преобразование представлено матрицей преобразования векторов базы:

==·=·. (7)

Пусть в базе пространства линейное преобразование представлено матрицей преобразования векторов базы:

==·=·. (8)

Используя выражения (6)(8), запишем цепочку матричных выражений, показывающих связь выражений заданного линейного преобразования в разных базах:

== (1) ===, (9)

одновременно, можем записать:

= (2) =·= (3) =··= (4) =, (10)

Комментарий:(1): учтено свойство линейного преобразования: символы и-совокупность строк координат векторовбазыперестановочны;(2): используется выражение (8); (3): используется выражение (6); (4): учли свойство произведения матриц.

Используя тождественные выражения (9) и (10): левые части равны (одно и то же выражение!), значит должны быть равны и правые части: = , или = . Последнее равенство обычно записывают в виде:

=, (11)

о матрице говорят, что она получена из матрицы трансформированием матрицей . Говорят также, что матрицы и , связанные соотношением (11) – подобны.

Вариант-2: используем для записи баз матрицы-строки:

==·=·, (6')

Отметим, запись баз и использует матрицы-столбцы, составленные из векторов базы.

Пусть в базе пространства линейное преобразование представлено матрицей преобразования векторов базы:

==·=·. (7')

Пусть в базе пространства линейное преобразование представлено матрицей преобразования векторов базы:

==·=·. (8')

Используя выражения (6')(8'), запишем цепочку матричных выражений, показывающих связь выражений заданного линейного преобразования в разных базах:

== (1) ===, (9')

одновременно, можем записать:

= (2) =·= (3) =··= (4) =, (10')

Комментарий:(1): учтено свойство линейного преобразования: символ взаимодействует с символом-совокупность строк координат векторовбазыкак с числом;(2): используется выражение (8'); (3): используется выражение (6'); (4): учли свойство произведения матриц.

Используя тождественные выражения (9') и (10'): левые части равны (одно и то же выражение!), значит должны быть равны и правые части: = , или = . Последнее равенство обычно записывают в виде:

=, (11')

о матрице говорят, что она получена из матрицы трансформированием матрицей . Говорят также, что матрицы и , связанные соотношением (11') – подобны.

Замечание: для исследования технологического процесса инженер использует либо форму записи матричных уравнений в соответствии с вариантом-1, либо в соответствии с вариантом-2; представленные выражения: (6)(11) и (6')(11') наглядно показывают: инженерный результат исследований от этого не изменится.

Таким образом, мы доказали теорему:

Теорема: (10.1)

Матрицы, задающие одно и то же линейное преобразование в разных базах, подобны между собой. При этом матрица линейного преобразования в базе получается трансформированием матрицы этого преобразования в базе матрицей перехода от базы к базе .

Следствие: если матрица задаёт линейное преобразование в базе , то любая матрица , полученная из матрицы трансформированием матрицей , определяющей матрицу перехода: =·, задаёт то же самое преобразование .

☺☺

Пример 10–07: В базе:e=(,) определено линейное преобразование пространства , его матрица: =, для варианта-1 использования векторов базы: =. Задана новая база:=+2,=2+3.Найти матрицу заданного преобразования в базе .

Решение:

1). Воспользуемся формулой: =·, где ===·.

2). Для варианта-1 запишем: =. Для матрицы 2-го порядка обратную матрицу находят совсем просто: =(–1)·=.

3). Остаётся вычислить произведение: ==··=(CA)D. Применяем шаблон для вычисления произведения матриц:CA=T:

Столбец	6	-2	Столбец	Столбец	6	-1	Столбец
	1	2	2		1	2	4
	2	3	6		2	3	9

Применяем шаблон для вычисления произведения матриц: B=TD:

Столбец	-3	2	Столбец	Столбец	2	-1	Столбец
	2	4	2		2	4	0
	6	9	0		6	9	3

4). Из таблицы читаем результат умножения матриц: =.

Ответ:.

Пример 10–08: Пусть в заданном линейном векторном пространстве имеем базу, а также базыи, причём:=·,=·, где:,,-матрицы-столбцы. В базезадано матрицейлинейное преобразование . Нужно найти матрицу этого линейного преобразования в базе , если:=,=,=.

Решение:

1). Воспользуемся формулой для вычисления матрицы перехода от базы к базе, с учётом, что,,-матрицы-столбцы:=·. Это значит, что =·.

2). Вычислим матрицу: =.Для определения матрицы перехода от базык базеприменяем шаблон для вычисления произведения: =BT =D:

Столбец	1	2	Столбец	Столбец	-1	1	Столбец
	1	-2	-3		1	-2	-3
	3	-1	1		3	-1	-4

Получили (видим из таблицы) матрицу перехода: =.

3). Для нашего случая, когда ,,-матрицы-столбцызапишем:=. Вычислим обратную матрицу: =· .

4). Вычислим произведение: ==···=(DA)N. Применяем шаблон для вычисления произведения матриц:DA=T:

Столбец	1	-2	Столбец	Столбец	-1	-3	Столбец
	-3	-3	3		-3	-3	12
	1	-4	9		1	-4	11

Применяем шаблон для вычисления произведения матриц: Q=TN:

Столбец	4	3	Столбец	Столбец	-5	5	Столбец
	3	12	48		3	12	45
	9	11	69		9	11	10

4). Из таблицы читаем результат умножения матриц: =.

Ответ: .

Пример 10–09: Доказать, что матрицы одного и того же линейного преобразования в двух базах тогда и только тогда совпадают, когда матрица перехода от одной базы к другой базе перестановочна с матрицей этого линейного преобразования в одной из данных баз.

Решение:

1). Пусть матрица перехода от базы к базеобозначенаи имеет место: =·. Пусть матрица линейного преобразования в базе обозначена как: .

2). Тогда имеет место матричное равенство: =. Так как матрица перехода от базык базеперестановочна с матрицей, то можем записать:====.

3). Пусть матрицы иопределяют одно и то же линейное преобразование в разных базах линейного пространства, причём: =·. Пусть=. Применим цепочку тождественных преобразований матричного равенства:====(1) ==(2) →

Комментарий:(1): учтено условие: матрица перехода от одной базы к другой базе перестановочна с матрицей этого линейного преобразования в одной из данных баз;(2): учтена теорема 10-1: матрицы идолжны быть –подобны: при трансформирующей матрице – матрице перехода.

Ответ:доказано.

☻