dsd11-12 / dsd-11=ТКС / lections / 02

2.Представление сигналов в спектральном виде

2.1 Преобразование Фурье

Сигнал называется периодическим, если значения сигнала, изменяющегося во времени, повторяются через равные промежутки времени, называемые периодом Т. Простейший тип периодических сигналов – это гармонические сигналы, которые описываются выражением

или

где - амплитуда сигнала, - фаза сигнала, -начальная фаза сигнала, - угловая частота сигнала.

В радиотехнике и электротехнике большое значение придается гармоническим сигналам. Это обусловлено следующими причинами:

1. Гармонические сигналы инвариантны (неизменны) относительно преобразований осуществляемых стационарными линейными электрическими цепями (т.е. сигнал на выходе также является гармоническим и отличается только амплитудой и фазой).

2. Техника генерирования гармонических сигналов относительно проста.

Если какой-то сигнал можно представить в виде суммы гармонических колебаний с разными частотами, то в этом случае говорят, что осуществлено его спектральное разложение.

Практически любой электрический сигнал можно представить в спектральном виде. Для этого надо воспользоваться его разложением в ряд Фурье, т.е. представить функцию, описывающую сигнал, в виде сходящегося тригонометрического ряда.

Итак, если на отрезке задан ортонормированный базис, образованный гармоническими функциями с кратными частотами:

; ;

(2.1)

и так далее, то любую периодическую функцию

n = 1,2...

можно представить в спектральном виде:

, ( 2 .2)

где - коэффициенты ряда Фурье;  - базис ортонормированных функций (2 1).

Ряд ( 2.2 ) называется рядом Фурье и для него имеется единственное решение. Используя выражения (2.1)  и (2.2) можно для S(t) записать:

, ( 2.3)

где коэффициенты определяются по формулам Эйлера-Фурье:

,

, (2.3а)

- основная частота.

Отыскание ряда Фурье для сложного гармонического сигнала, называется гармоническим или спектральным анализом. Составляющие этого ряда - циклические частоты, которые равны и т.д., называются соответственно первой (основной), второй, третьей и т.д. гармониками сложного сигнала.

Каждая гармоника ряда Фурье характеризуется амплитудой A_m и начальной фазой _m, и для коэффициентов разложения (2.3а) можно записать: a_m=A_mcos_m, b_m=A_msin_m.

Откуда , где .

Тогда единственное решение (2.3) представляется в более удобном виде

( 2.4 )

Пример 1.1

Найти спектральное преобразование последовательности прямоугольных импульсов с параметрами (см. рис.2.1а) четными относительно , - период сигнала, - длительность импульса, - амплитуда импульса.

Отношение называется скважность импульсов.

Используя (2.3а),  имеем:

;

Используя выражение (2.3) для представления спектрального разложения сигнала, получим:

График такого спектрального разложения, для двух крайних случаев, когда и , показан на рис.2.1б.

где k = 0, 1, 2...

Рис.2.1 Спектральное преобразование последовательности прямоугольных импульсов:

а - вид и параметры прямоугольных импульсов, б - спектральное преобразование

Спектральное разложение периодического сигнала можно получить, используя в качестве базиса ортонормированных функций экспоненты с мнимым показателем, т.е.

; ;

; ;

,

Тогда ряд Фурье принимает вид:

, (2.5)

где , C_n - коэффициенты ряда Фурье.

Разложение (2.5) иногда представляют в более удобном виде

, (2.5а)

где

Выражения (2.5) и (2.5а) являются разложением ряда Фурье в комплексной форме.

Так как n принимает значения от - до +, то из (2.5а) видно, что спектр сигнала содержит компоненты как с положительными, так и с отрицательными частотами. Обычно их объединяют в пары, т.е. по формуле Эйлера

=

Отрицательной частоте соответствует вектор напряжения (см.рис.2.2) из разложения (2.5), вращающийся по часовой стрелки, а положительной частоте - вектор вращающийся против часовой стрелки.

2.2. Спектральная плотность сигнала

Пусть - одиночный импульсный сигнал. Чтобы найти его спектральное разложение надо мысленно дополнить его такими же сигналами периодически следующими через T. Тогда используя спектральное разложение в комплексной форме можно записать:

с коэффициентами разложения:

Чтобы вернуться к одиночному импульсу надо период устремить в бесконечность , тогда частоты и будут сколь угодно близки друг к другу и их можно заменить на текущую частоту

( 2.6)

Тогда коэффициенты ряда Фурье образуют комплексно-сопряженные пары и , и каждой паре соответствует гармоническое колебание вида:

 = 

или осуществляя предельный переход, т.е. когда мало отличается от , получим

Рассмотрим бесконечно малый интервал . В рамках этого интервала будет содержаться N пар спектральных составляющих (так как ₁=2/T) с коэффициентами разложения Сn (2.6 ), представляющими собой комплексную амплитуду соответствующего единичного гармонического колебания, т.е.

(2.7)

Так как в рамках интервала  таких колебаний будет N, то полную комплексную эквивалентную амплитуду получим, домножив (2.7) на 2 и N, т.к. спектр сигнала содержит комплексно сопряженные пары.

; (2. 8 )

Выражение (2.8) называется спектральной плотностью сигнала . С учетом вышесказанного (2.8) принимает вид

( 2.9)

С точки зрения физического смысла спектральную плотность можно представить как коэффициент пропорциональности между длиной малого интервала частот и отвечающей ему амплитудой гармонического сигнала с частотой лежащей внутри .

Пример 2.2. Найти спектральную плотность прямоугольного импульса изображенного на рис.2.3а.

Используя соотношение (2.8) имеем:

Пусть , тогда

График нормированной спектральной плотности представлен на рис.2.3б.

Рис.2.3 Cпектральная плотность прямоугольного сигнала: а - форма и параметры прямоугольного сигнала; б – график нормированной спектральной плотности