4. Уравнения для анализа полупроводниковых приборов

4.1. Набор уравнений

1). Уравнения для токов (уравнения переноса частиц):

;

;

; ;

; .

(Кинетические коэффициенты постоянны только в слабых полях, когда— температура решетки.)

(если нет вырождения).

2). Уравнение Пуассона для поля:

.

3). Уравнения непрерывности потоков электронов и дырок:

;— скорость генерации пар;

;— скорость рекомбинации пар

(носители генерируются и рекомбинируют парами).

4). Уравнения генерации-рекомбинации:

;

. (Времена жизни постоянны только при НУИ).

При сильных нарушениях равновесия дополнительно используются уравнения непрерывности потоков энергии носителей заряда (или их температуры). Кинетические коэффициенты считаютсялокальными функциями электрического поля или (лучше) — температуры. Это квазигидродинамический подход.

При очень сильных нарушениях равновесия (функция распределения не похожа на фермиевскую, температуры нет) — метод частиц (Монте-Карло).

Мы ограничимся следующими приближениями:

1. Прибор разбивается на квазинейтральные области () и ОПЗ.

2. В ОПЗ (уравнение Пуассона легко решается).

3. Отклонения от равновесия сравнительно малы (, кинетические коэффициенты постоянны).

4. Носители заряда генерируются и рекомбинируют парами; времена жизни не зависят от уровня инжекции ().

5. Все уравнения 1-мерные

; ;;.

4.2. Биполярное уравнение непрерывности

Подстановка уравнений для токов в уравнения непрерывности дает:

;

.

Для квазинейтральных областей . При этом

; .

Но тогда в уравнении Пуассона:

.

Это неверно, т.к. при исчезает поле, обеспечивающее квазинейтральность! Поэтому можно считатьвезде, кроме членов с . Исключая эти члены, получимодно биполярное уравнение:

; (4.1а)

или , (4.1б)

где и—биполярная подвижность и биполярный коэффициент диффузии. Для случаев НУИ и ВУИ эти кинетические коэффициенты не зависят от !

1). Нуи.

Для полупроводника п-типа: ;;.

Если выбрать биполярное уравнение непрерывности в форме (4.1а):

.

Это уравнение совпадает с уравнением непрерывности для дырок (неосновные носители), в котором изъят член с .

Для полупроводника р-типа: ;;.

Если выбрать биполярное уравнение непрерывности в форме (4.1б):

.

Это уравнение совпадает с уравнением непрерывности для электронов (неосновные носители), в котором изъят член с .

Вывод: при НУИ биполярное уравнение непрерывности совпадает с уравнением непрерывности для неосновных носителей, в котором изъят член с .

2). Вуи.

;;.

Биполярные уравнения непрерывности в формах (а) и (б) совпадают:

, или .

Вывод: при ВУИ биполярное уравнение непрерывности совпадает с любым из уравнений непрерывности, если изъять член с и положить ;.

Основные результаты

1. Для теоретического анализа полупроводниковые приборы удобно разбивать на ОПЗ и квазинейтральные области.

2. В приближении полного обеднения ОПЗ анализируется с использованием уравнения Пуассона.

3. Для анализа квазинейтральных областей используется биполярное уравнение непрерывности.

4. При НУИ биполярное уравнение непрерывности соответствует уравнению непрерывности для неосновных носителей без члена с дивергенцией электрического поля.

4. При ВУИ биполярное уравнение непрерывности соответствует уравнению непрерывности для любого типа носителей без члена с дивергенцией электрического поля. Биполярные кинетические коэффициенты не зависят от концентраций носителей.