5. Полная модель Гумеля-Пуна

При отказе от допущений раздела 4 в неравновесном состоянии

, т.е. _.

При этом в формулах для определения токов I_e1 и I_с1 нуждается в определении полный заряд дырок в базе :

где , (3.6а) , (3.6б)

Метод Гуммеля-Пуна позволяет найти этот заряд функцию от напряжений на р-п переходах:

,.или .

Процедура нахождения этой функции поясняется рисунком 5.1 (он же 3.1).

По определению полный заряд дырок в базе определяется соотношением

, (4.1)

где — избыточная концентрация дырок в активной базе.

Первое слагаемое в правой части (4.1) можно представить в следующем виде:

. (4.2)

Интегралы в правой части (4.2) имеют следующий физический смысл:

— (4.3а)

равновесный заряд дырок в активной базе;

— (4.3б)

заряд в барьерной емкости эмиттерного перехода;

— (4.3в)

заряд в барьерной емкости активной части коллекторного перехода.

Поскольку в интервале база электронейтральна (), второе слагаемое в правой части (4.1) соответствует заряду в диффузионной емкости базы:

.

Этот заряд является суммой зарядов электронов, пролетающих через активную базу в прямом направлении за время T_F (создающих ток I_e1) и электронов, пролетающих через базу в обратном направлении за время T_R (создающих ток I_с1). Поэтому

. (4.4)

Подставляя (4.3а-в) в (4.2), а затем (4.2) и (4.4) в (4.1), получим:

. (4.5)

В уравнении (4.5) функции определены уравнениями (3.6а,б) и (3.7а,б). После их подстановки получим квадратное уравнение относительно заряда (или ), которое имеет следующее решение:

,

или , (4.6)

где , (4.7а) . (4.7б)

Алгоритм вычислений, которые производятся при компьютерном моделировании на каждом временном шаге, имеет следующий вид:

Таким образом, для описания статических характеристик должны быть заданы следующие параметры:

I_ns , Q_B0 , I_KF , I_KR , B_F , B_R ,

параметры ВФХ барьерных емкостей С_E (V_be), С_C (V_bc),

и параметры ВАХ диодов I_ep (V_be), I_cp (V_bc), I_erg (V_be), I_crg (V_bc) и I_c2 (V_bc).

Для транзисторов с малыми топологическими размерами ВАХ диодов должны включать токи, протекающие через боковые периферийные поверхности р-п переходов.

Механизм учета эффекта Эрли.

В нормальном режиме работы () в пренебрежении обратными токами через коллекторный переход

.

Зависимость коллекторного тока от напряжения (эффект Эрли) в модели Г-П отражена зависимостью в формуле (4.6):

.

Таким же образом зависимость учитывает эффект Эрли в инверсном включении.

Для ускорения вычислений и облегчения процедуры экспериментальной верификации параметров модели вместо (4.6) используется приближенное соотношение

. (4.6а)

Здесь эффект Эрли учтен параметрами V_AF и V_AR , которые называются прямым и инверсным напряжениями Эрли. Смысл и способ измерения прямого напряжения Эрли V_AF поясняется рисунком 5.2.

Наклон ВАХ при -V_bc > 0

утрирован

Механизм учета произвольного уровня инжекции.

Для простоты рассмотрим случай V_bc = 0 () и пренебрежем эффектом Эрли ().

При низком уровне инжекции в (4.6а) , и

.

Из (3.6а) и (3.7а) получим:

. (А)

При высоком уровне инжекции в (4.6а) , и

.

Из (3.6а) и (3.7а) получим:

. (Б)

Сравнение (А) и (Б) показывает, что высокий уровень инжекции учитывается уменьшением вдвое показателя экспоненты (2 _Т вместо  _Т) и коэффициента перед экспонентой. Параметры I_KF и I_KR характеризуют токи инжекции через эмиттерный и коллекторный переходы, при которых уровень инжекции близок к 1. Эти токи могут быть определены экспериментально.

Сопротивление активной базы

Дополнительное преимущество модели Г-П — возможность учета изменения сопротивления активной базы при повышении уровне инжекции. Сопротивление базы должно снижаться пропорционально повышению полного количества основных носителей (т.е. пропорционально параметру q_В). Поскольку параметр q_В вычисляется на каждом временном шаге, изменения сопротивления базы легко учитываются при моделировании.

Недостатки модели Гуммеля-Пуна:

1). Сложность и отсутствие наглядности. Применяется только при численном (компьютерном) моделировании.

2). Модель не учитывает эффект оттеснения эмиттерного тока [ ].

Формально этот эффект может быть частично учтен коррекцией токов I_{KF, KR}.

6. Накопление носителей заряда в коллекторе

В нормальном режиме рабты () быстродействие транзистора ограничено барьерными емкостями эмиттерного и коллекторного переходов, а также диффузионной емкостью базы. Диффузионная емкость базы связана с накоплением избыточных носителей заряда в базе (). Характерное время перезаряда этой емкости — время пролета электронов через базу. При тонкой базе это время достаточно мало (при 0,1 мкм и 15 см²/Вс 3 пс).

Значительно более инерционным является процесс накопления и рассасывания избыточных носителей заряда в области п-коллектора, толщина которого ~ 1 мкм. Это характерно для режима насыщения (), когда коллекторный переход открыт, и в коллектор инжектируются дырки из базы.

Коллектор — наиболее слабо легированный слой (см^-3). Поэтому величина может быть весьма большой. Пролету дырок к закрытому переходу C-S препятствует сильное тормозящее электрическое поле в п⁺-слое.

На рис. 6.1 показан участок активного п-колектора, а на рис. 6.2 — и его эквивалентная схема.

Параметры модели колекторной области определены в работе Кулла (G.Cull at al. IEEE Trans, 1985, v.ED-32, N 6, p.1103) при следующих допущениях:

1. Коллектор электронейтрален. 2. Рекомбинация отсутствует. 3. Ток дырок равен нулю. 4. Граничные условия имеют вид:

; .

Порядок анализа:

1. Записывается уравнение для тока электронов .

2. Напряженность электрического поля находится из условия .

3. Находится распределение избыточных носителей заряда при заданных граничных условиях и электронный ток.

4. Находится заряд избыточных дырок в коллекторе .

В результате анализа получены следующие соотношения :

; (6.1)

;

; (6.2а) , (6.2б)

где

— равновесное сопротивление п-колектора;

— равновесный заряд электронов в п-колекторе;

; .

Таким образом, ток и заряды и в емкостях являются функциями двух напряжений и .

Принятые при анализе допущения выполнены не всегда. Модель хорошо описывает режим “квази-насыщения”, когда напряжение между выводами базы и колллектора , а напряжение на переходе база-колллектор .

7. Эффект Кирка

Эффект Кирка связан с ограничением предельной скорости переноса электронов. Он проявляется в нормальном режиме работы транзистора и состоит в резком снижении полосы пропускания при превышении током коллетора критического значения

. (7.1)

Суть эффекта Кирка поясняется рисунком 7.1.

Обычно для концентрации неосновных электронов в базе используется граничное условие

(7.2)

В нормальном режиме при :

. (7.2а)

Плотность электронного тока составляет:

.

При условии (7.2а) скорость электронов в плоскости должна быть

бесконечной. На самом деле дрейфовая скорость ограничена величиной

см/с,

а средняя диффузионная скорость не может превышать средней тепловой скорости

10⁷ см/с.

Таким образом, предельная максимальная скорость электронов составляет

см/с.

При этом граничное условие должно иметь вид:

, (7.2б)

причем это значение концентрации электронов сохраняется и в переходе В-С.

При концентрации электронов в переходе В-С становится большей, чем их равновесная концентрация в коллекторе . Электронейтральность коллектора нарушается, и область высокого поля сдвигается от колекторного перехода в сторону -слоя.

Таким образом, эффект Кирка приводит к резкому увеличению толщины базы и, следовательно, предельной частоты транзистора (рис. 7.2).

Адекватных моделей, которые могли бы учесть эффект Кирка в системах схемотехнического проектирования, пока не существует.