1.9. Уравнения Лагранжа и Клеро
Уравнения Лагранжа и Клеро относят к типу дифференциальных уравнений, не разрешённых относительно производной .
Уравнение
Лагранжа.
Стандартная форма записи уравнения:
.
Для решения таких уравнений разработан
специальный способ – поиск решения в
параметрической форме:
1. Полагают
=
и записывают исходное уравнение в
виде
.
2. Дифференцируют
выражение
по переменной
:
.
Заменяя
на
,
получают:
. (1.24)
3. Если уравнение
имеет корни
,
то функции
будут решениями уравнения (1.24), а прямые
решениями уравнения Лагранжа.
4. Если
,
то уравнение (1.24) записывают как линейное
относительно переменной
–
=
.
Найдя его решение
и, составив систему
получают решение
уравнения Лагранжа в параметрическом
виде.
Пример 1.9. Найти
общее решение уравнения Лагранжа
в параметрической форме.
Решение. 1)
Запишем уравнение в стандартном виде
,
где
=
и
= 0.
Полагаем
=
.
Перепишем исходное уравнение
=
.
2) Дифференцируем
по переменной
.
Заменяя
на
получим
.
3) Уравнение
=0
имеет корни
= –1
и
= 1.
Следовательно, функции
и
,
то есть
= 
и
=
являются решениями исходного уравнения.
4) В случае
,
учитывая, что
=
,
после простых преобразований уравнение
перепишем в виде линейного уравнения
относительно
=
.
Откуда
.
5) Составим систему
– решение уравнения Лагранжа
в параметрической форме, из которой
легко получить решение в явном виде
.
Ответ.
или
;
.
Задание 1.9. Решить уравнения Лагранжа.
Вар. |
Уравнение: |
Вар. |
Уравнение: |
1.9.1. |
|
1.9.4. |
|
1.9.2. |
|
1.9.5. |
|
1.9.3. |
|
1.9.6. |
|
Уравнение
Клеро.
Стандартная форма записи уравнения
.
Уравнение Клеро является частным случаем
уравнения Лагранжа. Решение его ищут,
как и уравнения Лагранжа,
в параметрической форме.
Пример 1.10.
Решить уравнение Клеро
,
применяя метод введения параметра.
Решение. 1)
Полагая
=
и дифференцируя выражение
,
получим уравнение
или
.
2
)
Пусть
.
Тогда
и получаем следующее решение уравнения
Клеро в параметрической форме
Исключая
,
найдем решение в явном виде
.
Это решение задает одно параметрическое
семейство прямых.
3) Пусть
.
В этом случае получаем, что решением
является линия
Исключая параметр
,
получим решение в явном виде
– парабола. Данная парабола является
огибающей семейства
(то есть в каждой своей точке касается
одной из прямых семейства (см.рис.1.8)) и
задает особое решение исходного
уравнения (решение особое, если через
каждую его точку проходит более одного
решения дифференциального уравнения).
Ответ. , особое решение: .
Задание 1.10. Решить уравнения Клеро.
Вар. |
Уравнение: |
Вар. |
Уравнение: |
1.10.1. |
|
1.10.4. |
|
1.10.2. |
|
1.10.5. |
|
1.10.3. |
|
1.10.6. |
|
