1.7. Нахождение уравнений кривых с помощью дифференциальных уравнений 1-го порядка
Для нахождения
уравнений кривых с помощью дифференциальных
уравнений 1-го порядка по заданным
геометрическим свойствам кривых
составляют уравнение
,
связывающее координаты произвольной
точки
кривой
и
производную функции
.
Напомним, что геометрический смысл
производной
− тангенс угла наклона касательной к
кривой
в
точке
.
На рисунке 1.1
представлена некоторая кривая
.
Для произвольной точки
этой кривой построены касательная
и нормаль
и выделены точки пересечения касательной
и нормали с осями
и
,
именно: а) для касательной – точки
и
;
б) для нормали – точки
и
.
Г
еометрические
свойства кривой обычно задаются условиями
на соотношения между длинами отрезков
,
,
,
,
,
,
и
– отрезки касательной,
– подкасательная,
и
– отрезки нормали,
– поднормаль (см.рис.1.1). Каждое такое
соотношение есть дифференциальное
уравнение, определяющее совокупные
геометрические свойства кривой. Решая
уравнение, находят соответствующее
семейство кривых с заданными свойствами.
Задавая начальные условия, из семейства
кривых выделяют единственную кривую.
Ниже приведены
формулы длин основных характерных
отрезков кривой
,
,
,
,
,
Величиной
обозначен угловой коэффициент
касательной в точке
.
Запишем
для точки
уравнение
касательной
(1.8)
и нормали
. (1.9)
Используя (1.8), определим координаты точек и пересечения касательной с осями координат , и вычислим длины отрезков , :
а) для точки имеем:
=0
→
=
→
=
→
=
; (1.10)
б) для точки имеем:
=0
→
=
→
=
→
=
. (1.11)
Зная координаты точки (см. (1.10)), вычислим длину подкасательной:
=
Аналогично, используя (1.9), найдем координаты точек и пересечения нормали с осями координат , и вычислим длины отрезков , :
а) для точки имеем:
=0
→
=
→
=
→
=
; (1.12)
б) для точки имеем:
=0
→
=
→
=
→
=
.
Используя
(1.12),
вычислим длину поднормали
=
.
П
ример
1.7. Найти уравнения кривых, проходящих
через точку (1,1), зная, что длина отрезка,
отсекаемого на оси ординат касательной
к кривой в каждой точке, пропорциональна
ординате точки касания. Принять
коэффициент пропорциональности
=2.
Решение.
Пусть
– произвольная точка кривой
(см.рис.1.2).
Считаем
,
так как ордината должна быть пропорциональна
неотрицательной величине – длине
отрезка. Условие задачи означает, что
длина отрезка
равна 2
,
то есть, применяя формулу (1.11) для
вычисления длины отрезка
,
=2
.
Из равенства =2 следует, что необходимо рассмотреть два случая:
▪
Случай-1:
; (1.13)
▪
Случай-2:
. (1.14)
Случай-1.
1) Дифференциальное уравнение (1.13) имеет решением функцию , график которой не проходит через точку (1,1).
2
)
Запишем уравнение (1.13) в виде
– это уравнение с разделяющимися
переменными, общим решением которого
является семейство гипербол
.
Требование
означает если
,
то
,
если
,
то
(см.рис.1.3). Точка
выделяет из семейства гипербол
единственную кривую.
Случай-2.
1
)
Перепишем уравнение (1.14) в виде
.
Нетрудно получить его общее решение
–
семейство кубических парабол. Здесь
также если
,
то
,
если
, то
.
Кубическая парабола
проходит через точку
при
=1
(см.рис.1.4; для значений
семейство интегральных кривых не
показано).
Ответ.
,
.
Задание 1.7. Найти уравнения кривых.
Замечания. 1) При оформлении решений заданий изобразите на рисунке 3-4 кривые из семейства, соответствующих общему решению дифференциального уравнения, и среди них выделите частное решение: линию, проходящую через заданную точку.
2) Используя кривую частного решения, покажите на чертеже касательную и подкасательную, нормаль и поднормаль для заданной точки .
1.7.1. Найти
уравнение линии, проходящей через точку
,
зная, что угловой коэффициент её
касательной в этой точке равен линейной
комбинации координат точки касания:
.
1.7.2.
Найти уравнение линии, проходящей через
точку
,
зная, что угловой коэффициент её
касательной в этой точке равен абсциссе
точки касания, умноженной на 2.
1.7.3. Найти
уравнение линии, проходящей через точку
,
зная, что длина её подкасательной для
каждой точки кривой равна абсциссе
точки касания. Рассмотреть только
случай, когда в каждой точке кривой
.
1.7.4. Найти уравнение линии, проходящей через точку , зная, что длина её подкасательной для каждой точки кривой равна ординате точки касания. Рассмотреть только случай, когда в каждой точке кривой .
1.7.5. Найти уравнение линии, проходящей через точку , зная, что длина её поднормали для каждой точки кривой равна абсциссе точки касания. Рассмотреть только случай, когда в каждой точке кривой .
1.7.6. Найти
уравнение линии, проходящей через точку
,
зная, что угловой коэффициент её
касательной в этой точке равен линейной
комбинации координат точки касания
.
1.7.7. Найти
уравнение линии, проходящей через точку
,
зная, что угловой коэффициент её
касательной в этой точке равен абсциссе
точки касания, умноженной на 4.
1.7.8. Найти
уравнение линии, проходящей через точку
,
зная, что длина её подкасательной для
каждой точки кривой равна абсциссе
точки касания. Рассмотреть только
случай, когда в каждой точке кривой
.
1.7.9. Найти уравнение линии, проходящей через точку , зная, что длина её подкасательной для каждой точки кривой равна ординате точки касания. Рассмотреть только случай, когда в каждой точке кривой .
1.7.10. Найти уравнение линии, проходящей через точку , зная, что длина её поднормали для каждой точки кривой равна абсциссе точки касания. Рассмотреть только случай, когда в каждой точке кривой .
1.7.11. Найти уравнение линии, проходящей через точку , зная, что длина её поднормали для каждой точки кривой равна ординате точки касания. Рассмотреть только случай, когда в каждой точке кривой .
1.7.12. Найти
уравнение линии, проходящей через точку
,
зная, что угловой коэффициент её
касательной в этой точке равен линейной
комбинации координат точки касания
.
1.7.13. Найти
уравнение линии, проходящей через точку
,
зная, что угловой коэффициент её
касательной в этой точке равен абсциссе
точки касания, умноженной на −2.
1.7.14. Найти уравнение линии, проходящей через точку , зная, что длина её подкасательной для каждой точки кривой равна абсциссе точки касания, умноженной на 2. Рассмотреть только случай, когда в каждой точке кривой .
1.7.15. Найти уравнение линии, проходящей через точку , зная, что длина её подкасательной для каждой точки кривой равна ординате точки касания, умноженной на 2. Рассмотреть только случай, когда в каждой точке кривой .
1.7.16. Найти уравнение линии, проходящей через точку , зная, что длина её поднормали для каждой точки кривой равна абсциссе точки касания, умноженной на 2. Рассмотреть только случай, когда в каждой точке кривой .
1.7.17. Найти уравнение линии, проходящей через точку , зная, что длина её поднормали для каждой точки кривой равна ординате точки касания, умноженной на 2. Рассмотреть только случай, когда в каждой точке кривой .
1.7.18. Найти
уравнение линии, проходящей через точку
,
зная, что угловой коэффициент её
касательной в этой точке равен линейной
комбинации координат точки касания
.
1.7.19. Найти уравнение линии, проходящей через точку , зная, что угловой коэффициент её касательной в этой точке равен ординате точки касания, умноженной на 2.
1.7.20. Найти уравнение линии, проходящей через точку , зная, что длина её подкасательной для каждой точки кривой равна абсциссе точки касания, умноженной на 2. Рассмотреть только случай, когда в каждой точке кривой .
1.7.21. Найти уравнение линии, проходящей через точку , зная, что длина её подкасательной для каждой точки кривой равна ординате точки касания, умноженной на 2. Рассмотреть только случай, когда в каждой точке кривой .
1.7.22. Найти уравнение линии, проходящей через точку , зная, что длина её поднормали для каждой точки кривой равна абсциссе точки касания, умноженной на 2. Рассмотреть только случай, когда в каждой точке кривой .
1.7.23. Найти уравнение линии, проходящей через точку , зная, что длина её поднормали для каждой точки кривой равна ординате точки касания, умноженной на 2. Рассмотреть только случай, когда в каждой точке кривой .
1.7.24. Найти
уравнение линии, проходящей через точку
,
зная, что угловой коэффициент её
касательной в этой точке равен линейной
комбинации координат точки касания
.
1.7.25. Найти уравнение линии, проходящей через точку , зная, что угловой коэффициент её касательной в этой точке равен ординате точки касания, умноженной на −2.
1.7.26. Найти
уравнение линии, проходящей через точку
,
зная, что длина её подкасательной для
каждой точки кривой равна абсциссе
точки касания, умноженной на −2.
Рассмотреть только случай, когда в
каждой точке кривой
.
1.7.27. Найти уравнение линии, проходящей через точку , зная, что длина её подкасательной для каждой точки кривой равна ординате точки касания, умноженной на 2. Рассмотреть только случай, когда в каждой точке кривой .
1.7.28. Найти уравнение линии, проходящей через точку , зная, что длина её поднормали для каждой точки кривой равна абсциссе точки касания, умноженной на −2. Рассмотреть только случай, когда в каждой точке кривой .
1.7.29. Найти уравнение линии, проходящей через точку , зная, что длина её поднормали для каждой точки кривой равна ординате точки касания, умноженной на −2. Рассмотреть только случай, когда в каждой точке кривой .
1.7.30. Найти уравнение линии, проходящей через точку , зная, что угловой коэффициент её касательной в этой точке равен квадрату абсциссы точки касания, умноженной на 2.