1.8. Применение дифференциальных уравнений 1-го порядка для решения задач физики и химии

Для составления дифференциального уравнения – математической модели физической (химической) задачи – часто применяют следующие способы:

1) записывают условие на производную искомой величины, используя известные законы физики и физический смысл производной;

2) определяют, какая из величин будет независимой переменной (обозначим её x), а какая зависимой (обозначим её y); затем, используя соотношения между нужными величинами при постоянных значениях параметров, находят линейное приближение для приращения когда независимая переменная получила приращение ; разделив на и переходя к пределу при , получают дифференциальное уравнение.

Для правильного составления уравнений требуется знание физических законов (первый и второй законы Ньютона, законы Кирхгофа для цепи переменного тока, закон Ньютона для скорости изменения температуры тела (см. указание 3 к заданию 1.8 и некоторые другие) в рамках стандартного курса общей физики по разделам: механика, термодинамика и молекулярная физика, электричество и магнетизм.

Справочный материал

Закон гравитации. Сила притяжения двух точечных (или сферически симметричных) масс и , находящихся на расстоянии друг от друга:

,

где (в системе СИ) – гравитационная постоянная.

Уравнение состояния идеального газа

,

где  – давление,  – объём,  – абсолютная температура,  – молярная масса, – универсальная газовая постоянная.

Закон Кулона. Сила взаимодействия двух точечных (или сферически симметричных) зарядов и , находящихся на расстоянии друг от друга:

,

где (в системе СИ) – постоянная закона Кулона. Также постоянную записывают в виде , где – электрическая постоянная.

Сила, действующая на точечный заряд в электрическом поле

,

где – напряжённость электрического поля в точке, где расположен заряд.

Закон Ома связывает силу тока , протекающего через проводник сопротивлением , и напряжение (разность потенциалов) на концах этого проводника

.

Электрический конденсатор (ёмкость)

,

где – ёмкость конденсатора, – заряд конденсатора, – напряжение между обкладками конденсатора.

Потенциальная энергия конденсатора

.

Плоский конденсатор

,

где – площадь каждой пластины (обкладки) конденсатора, – расстояние между пластинами, – диэлектрическая проницаемость среды, заполняющей пространство между пластинами.

Напряжённость электрического поля между пластинами плоского конденсатора

.

Сила притяжения пластин плоского конденсатора между собой

,

где – заряд конденсатора, – напряжённость электрического поля в конденсаторе.

Механический момент, действующий на электрический диполь в однородном электрическом поле

,

где – вектор дипольного момента, – модуль зарядов диполя, – вектор, направленный из точки зарядом в точку с зарядом .

П ример 1.8. Чаша в форме параболоида вращения в начальный момент заполнена водой. В самой нижней части чаши имеется отверстие радиуса , через которое вытекает вода (рис.1.5). Найти зависимость уровня воды в чаше от времени, если высота чаши , радиус верхнего края . За какой промежуток времени из чаши вытечет вся вода?

Решение. Зависимость между уровнем воды в чаше и радиусом горизонтальной поверхности воды имеет вид

.

Пусть за промежуток времени уровень воды изменится на (рис.1.5), тогда изменение объёма воды в чаше

. (1.15)

С другой стороны, это изменение равно

, (1.16)

где – скорость истечения воды из отверстия (см. Указание 1 к решению задач).

Приравнивая (1.15) и (1.16) и переходя к пределу при , получим дифференциальное уравнение

. (1.17)

После разделения переменных в (1.17) и интегрирования, имеем:

(1.18)

Найдём константу из начальных условий. Так как , то поэтому (1.18) примет вид

. (1.19)

Выражая из (1.19), получим искомую зависимость:

.

Поскольку , то из (1.19) найдём время, за которое вытечет вся вода:

.

Задание 1.8. Решить задачи.

Указание 1. В задачах 1.8.13-1.8.20 принять, что жидкость с учётом вязкости вытекает из сосуда со скоростью , где – высота уровня воды над отверстием.

Указание 2: В задачах 1.8.27, 1.8.29, Д3 – Д5, Д8, Д9 производные (или ) следует выразить как производные сложной функции (или ) через и (или через и ).

Указание 3. В задачах 1.8.6, 1.8.7 считать, что скорость изменения температуры тела пропорциональна разности между температурой окружающей среды и температурой этого тела.

8. Пуля массой летящая со скоростью  = 200 м/c, пробивает доску за . Найти скорость пули после вылета из доски, если внутри доски сила сопротивления пропорциональна квадрату скорости пули с коэффициентом . Найти также толщину доски.

2. Лодка замедляет свое движение под действием сопротивления воды, которое пропорционально скорости лодки. Начальная скорость лодки  = 1,5 м/с, через  с скорость ее стала  = 1 м/с. В какой момент времени после начала торможения скорость лодки будет равна  = 1 см/с? Какой путь может пройти лодка до полной остановки?

3. В сосуде объемом  л в начальный момент содержался воздух с объёмной долей азота . В течение последующего времени в сосуд втекало  л азота за секунду, который непрерывно перемешивался, и вытекало такое же количество смеси. Найти зависимость объёмной доли азота в сосуде от времени. Через какое время объёмная доля азота в сосуде стала равной ?

4. В баке в начальный момент находилось  л раствора, содержащего  кг соли. В течение последующего времени в бак непрерывно подавалась вода со скоростью  л/мин, которая перемешивалась с имеющимся раствором, при этом смесь вытекала с той же скоростью. Найти зависимость массы соли в баке от времени. Какая масса соли оставалась в баке через  мин?

5. Первоначальная объёмная доля углекислого газа в воздухе комнаты объемом  м³ была равна 0,15%. В последующее время вентиляция подавала в минуту  м³ воздуха с объёмной долей углекислого газа. Найти зависимость объёмной доли углекислого газа в воздухе комнаты от времени. Через какое время количество углекислого газа в воздухе комнаты уменьшилось втрое?

6. Тело охладилось за мин от С до С. Температура окружающего воздуха поддерживается равной С. Найти зависимость температуры тела от времени. К какому моменту времени тело остынет до С?

7. Кусок метала с температурой градусов помещен в печь, температура которой в течение часа равномерно повышается от до градусов. При разности температур печи и металла, равной градусов, металл нагревается со скоростью градусов в минуту. Найти зависимость температуры металла от времени. Найти температуру металла через 1 час.

8. За первый день распалось 50% первоначального количества радиоактивного вещества. Найти зависимость количества нераспавшегося радиоактивного вещества от времени, если вначале оно было равно . Через какой промежуток времени останется 1% от первоначального количества?

9. Количество света, поглощаемое слоем воды малой толщины, пропорционально количеству падающего на него света и толщине слоя. Слой воды толщиной  см поглощает половину падающего на него света. Найти зависимость количества (интенсивности) света , прошедшего сквозь слой воды, от толщины этого слоя, если на слой воды падает свет интенсивности . Какую часть света поглотит слой толщиной в  м?

10. Парашютист, совершая затяжной прыжок, раскрыл парашют в момент, когда его скорость составляла половину от предельной скорости падения человека в воздухе нормальной плотности. Найти зависимость скорости парашютиста от времени с начала прыжка, считая, что сопротивление воздуха пропорционально квадрату скорости. В какой момент времени от начала прыжка он раскрыл парашют?

11. Футбольный мяч массой  кг брошен вверх со скоростью . Сопротивление воздуха пропорционально квадрату скорости с коэффициентом . Найти зависимость скорости мяча от времени. Вычислить время подъёма мяча на наибольшую высоту.

12. Футбольный мяч массой  кг падает с некоторой высоты без начальной скорости. Найти зависимость скорости мяча от времени падения, считая, что сопротивление воздуха пропорционально скорости мяча с коэффициентом . Вычислить скорость мяча после падения.

13. Из наполненного изначально доверху цилиндрического бака с радиусом  м и высотой  м через отверстие в дне радиусом  см вытекает вода. Найти зависимость уровня воды в баке от времени. За какой промежуток времени вытечет вся вода? Ось цилиндра вертикальна.

14. Из полного цилиндрического бака высотой через отверстие в дне половина воды вытекает за =5 мин. Найти зависимость уровня воды в баке от времени. За какой промежуток времени вытечет вся вода? Ось цилиндра вертикальна.

15. В прямоугольный бак длиной  см, шириной  см и высотой  см поступает вода со скоростью  л/с. В дне имеется отверстие площадью  см². Найти зависимость между временем наполнения бака и уровнем воды в нём. За какое время наполняется весь бак?

16. В начальный момент воронка в форме конуса радиусом  см и высотой  см, обращенного вершиной вниз, доверху наполнена водой. В вершине конуса имеется отверстие радиусом  см, через которое вытекает вода. Найти зависимость между временем, прошедшим с начального момента, и уровнем воды в воронке. За какое время из воронки вытечет вся вода?

17. В начальный момент бак в форме конуса радиусом  см и высотой  см вершиной вверх заполнен водой. В основании конуса имеется отверстие радиусом  см, через которое вытекает вода. Найти зависимость между временем, прошедшим с начального момента, и уровнем воды в баке. За какое время из бака вытечет вся вода?

18. Бак имеет форму клина ребром вниз, торцевые стенки которого перпендикулярны боковым. Длина клина равна , высота , длина основания торца равна , в нижнем ребре клина сделано отверстие площадью , через которое может вытекать вода. В начальный момент бак заполнен водой. Найти зависимость между временем, прошедшим с начального момента, и уровнем воды в баке. За какое время из бака вытечет вся вода?

19. Бак имеет форму клина ребром вверх, торцевые стенки которого перпендикулярны боковым. Длина клина равна , высота – , длина основания торца равна , в нижнем основании бака сделано отверстие площадью , через которое может вытекать вода. В начальный момент бак заполнен водой. Найти зависимость между временем, прошедшим с начального момента, и уровнем воды в баке. За какое время из бака вытечет вся вода?

20. Бак имеет форму шара радиусом , в самой нижней части бака сделано отверстие площадью , через которое может вытекать вода. В начальный момент бак заполнен водой. Найти зависимость между временем, прошедшим с начального момента, и уровнем воды в баке. За какое время из бака вытечет вся вода?

21. Незаряженный в момент конденсатор ёмкостью последовательно с сопротивлением включается в цепь с источником, напряжение на котором линейно возрастает от 0 до за промежуток времени от до . Найти заряд на конденсаторе в момент времени .

22. Катушка с индуктивностью включается последовательно с сопротивлением в цепь с источником, напряжение на котором линейно возрастает от 0 до за промежуток времени от до . В момент замыкания цепи ток в ней равен нулю. Найти ток в катушке в момент времени .

23. Найти атмосферное давление на высоте , если на поверхности земли давление равно и плотность воздуха . Использовать закон Бойля – Мариотта, в соответствии с которым плотность пропорциональна давлению (пренебречь изменением температуры воздуха при изменении высоты).

24. Незаряженный конденсатор ёмкостью включается в цепь с напряжением и сопротивлением . Определить заряд на конденсаторе в момент времени .

25. Катушка с индуктивностью включается последовательно с сопротивлением в цепь с напряжением . В момент замыкания цепи ток в ней равен нулю. Найти ток в катушке в момент времени .

26. Напряжение между обкладками плоского конденсатора линейно возрастает за 1 с от до . В начальный момент от одной из обкладок отрывается пылинка массой с зарядом и начинает двигаться к другой обкладке, испытывая сопротивление со стороны воздуха, заполняющего пространство между обкладками, которое пропорционально скорости пылинки с коэффициентом . Найти зависимость скорости пылинки от времени. Расстояние между обкладками равно , краевыми эффектами и силой тяжести пренебречь.

27. Метеорит, находящийся под влиянием земного притяжения, из состояния покоя начинает прямолинейно падать на Землю с высоты (над поверхностью Земли). Найти зависимость скорости метеорита от расстояния , пройденного им, при условии отсутствия земной атмосферы. Радиус Земли , ускорение свободного падения на поверхности Земли .

28. Катушка с индуктивностью включается последовательно с резистором переменного сопротивления в цепь с источником постоянного напряжения величиной . До момента по цепи протекал постоянный ток, а сопротивление резистора было равно . С момента до сопротивление резистора уменьшается обратно пропорционально времени. Найти ток в катушке в момент времени .

29. Футбольный мяч, летящий горизонтально, ударяется о вертикальную стенку, при этом максимальная глубина его вмятины при деформации во время удара составляет , где – радиус мяча. Найти зависимость скорости мяча от глубины вмятины во время удара о стену. Зависимостью давления внутри мяча от глубины вмятины пренебречь; также считать, что части поверхности мяча, не соприкасающиеся со стеной, не деформируются. Найти скорость , с которой летел мяч до удара, если масса мяча  кг, его радиус  м, разность между давлениями внутри и снаружи мяча Па, .

30. Плоский конденсатор, одна из обкладок которого неподвижна, а другая удаляется от неё со скоростью , подключён к источнику постоянного напряжения . В момент, когда расстояние между обкладками было равно , от неподвижной обкладки оторвалась пылинка массой с зарядом и начала двигаться к другой обкладке. Найти зависимость скорости пылинки от времени, прошедшего с момента отрыва. Сопротивлением воздуха, краевыми эффектами и силой тяжести пренебречь.