
1 семестр_1 / ЛА / Модуль 1 / МП12_Николаев Олег_БДЗ1
.docxОтчет к упражнению 1:
1) Даны
координаты векторов
в правом ортонормированном базисе I,
j, k. Показать,
что векторы a, b,
c тоже образуют базис и
найти координаты вектора x
в базисе a, b,
c:
x=[-9 5 5];a=[4 1 1];b=[2 -1 -3];c=[-1 2 1];
d=[a;b;c];
det(d)
ans =
24
Т.к. смешанное
произведение (т.е. определитель из
координат векторов) не равен нулю, то
векторы
не компланарны и, следовательно, образуют
базис.
Тогда можно
написать
,
в проекциях на оси x, y,
z получим:
Решим эту систему методом Крамера:
d1=[x;b;c];
d2=[a;x;c];
d3=[a;b;x];
k1=det(d1)/det(d)
k2=det(d2)/det(d)
k3=det(d3)/det(d)
k1 =
-1.0417
k2 =
-1.2083
k3 =
2.4167
Откуда
получим, что в базисе
вектор
имеет координаты
.
Отчет к упражнению 2:
Даны координаты точек
в правой прямоугольной системе координат.
Вычислить:
а) проекцию
вектора
на вектор
;
б) площадь треугольника
;
как связано векторное произведение с
площадью треугольника
?
В) объем тетраэдра
.
а)
a=[4 -1 3];b=[-2 1 0];c=[0 -5 1];d=[3 2 -6];
ab=b-a;ad=d-a;
sc=sum(ab.*ad);
l=sqrt(sum(ad.^2));
sc/l
ans =
4.0883
б) Модуль
векторного произведения векторов
и
равно площади параллелограмма,
построенного на этих векторах, и,
следовательно, равно удвоенной площади
треугольника
.
ab=b-a;ac=c-a;
s=cross(ab,ac);
sqrt(sum(s.^2))/2
ans =
17.8885
в) Модуль
смешанного произведения векторов
,
и
равен объему параллелепипеда, построенного
на этих векторах, и, следовательно,
удвоенному объему тетраэдра
.
ab=b-a;ac=c-a;ad=d-a;
v=[ab;ac;ad];
abs(det(v))/2
ans =
136
Отчет к упражнению 3:
Решить систему линейных уравнений по методу Крамера. Сделать проверку.
a=[1 3 5];b=[3 1 1];c=[5 1 3];s=[0 -6 -8];
d=[a;b;c];
d1=[s;b;c];
d2=[a;s;c];
d3=[a;b;s];
x1=det(d1)/det(d);
x2=det(d2)/det(d);
x3=det(d3)/det(d);
x1+3*x2+5*x3
3*x1+x2+x3
5*x1+x2+3*x3
ans =
0
ans =
-6
ans =
-8