- •Часть 1. Дифференциальные уравнения (ду) 1-го порядка.
- •1. Дифференциальным уравнением (ду) называют равенство, содержащее независимые переменные, искомую функцию и её производные (или дифференциалы).
- •2. Решить ду – значит найти все его решения!
- •3. Решение ду – любая функция, которая, будучи подставлена в исходную запись уравнения, обращает его в тождество!
- •3). Тогда уравнение кривой семейства, проходящей через точку (0,1): .
- •3). Рассмотренная ситуация подсказывает будущему инженеру: в ответственных случаях желательно получить решение несколькими возможными способами!
3). Тогда уравнение кривой семейства, проходящей через точку (0,1): .
3). Запишем выражение кривой семейства, проходящей через точку : .
Ответ: уравнение кривой:.
Пример 3–17: Методом изоклин построить приближенно семейство интегральных кривых для дифференциального уравнения: .
Решение:
1). Уравнение изоклин для заданного дифференциального уравнения получается из исходного уравнения приравниванием =. У нас каждая изоклина – прямая: =. На рисунке изоклины выделены «серым» цветом: прямые, параллельные оси ОХ. На каждой изоклине черточка («красная») отражает конкретное значение , определяющее изоклину, то есть: на каждой изоклине наклон черточки один и тот же.
2). Черточки играют роль «железных опилок» в опытах по физике: они показывают направление «поля». Возникает «зрительный образ», который определяет «присутствие некоторой кривой», касательные к которой мы и видим. Это и есть приближенно выделяемая «интегральная кривая» (одна из них выделена «синим» цветом), то есть «решение» заданного ДУ.
Ответ: интегральная кривая представлена на рисунке.
Пример 4–23: Решить дифференциальное уравнение: .
Решение:
1). Умножив исходное уравнение на дифференциал , можем записать: . Нетрудно заметить, что это уравнение с разделяющимися переменными.
2). Отметим, что из исходной записи уравнения ни одного решения не следует.
3). Интегрируем уравнение: =. Используя табличные интегралы, нетрудно записать общее решение в виде: = x–+C, или в виде: .
Ответ: – общее решение ДУ.
Пример 5–25: Решить дифференциальное уравнение: . (1)
Решение:
1). Прежде всего, отметим, что исходное уравнение (1) имеет очевидное решение =0.
2). Умножим исходное уравнение (1) на дифференциал . Уравнение (1) перепишем в дифференциальной форме: . (2)
3). Нетрудно заметить, что уравнение (2) есть уравнение с разделяющимися переменными. Так как решение уже учтено, теперь примем, что и перепишем уравнение (2):
=2. (3)
4). Интегрируем (3): =2 или → . – общее решение дифференциального уравнения.
Ответ: общее решение ДУ ; хотя при получении общего решения произвольная постоянная величина не должна принимать значение 0, формально из него можно получить решение исходного уравнения при значении .
Пример 6–30: Решить дифференциальное уравнение: . (1)
Решение:
1). Прежде всего, отметим, что исходное уравнение (1) не предлагает простейших решений вида: и .
2). Запишем уравнение (1) в виде: 2+2=0. Умножение на число 2 учитывает, что !
3). В результате интегрирования получим: – общее решение ДУ.
Ответ: общее решение ДУ: .
Пример 7–38: Решить дифференциальное уравнение: =. (1)
Решение:
1). Прежде всего, отметим, что исходное уравнение (1) не предлагает простейших решений вида: и . Также легко заметить, что уравнение (1) равносильно уравнению:
=. (2)
2). Примем и вычислим производную , то есть . В нашем случае получаем , что есть уравнение с разделяющимися переменными!
3). Уравнение имеет решение в виде функции: . Учитывая обозначение , запишем решение – прямая линия.
Замечание: Увидеть решение непосредственно из исходного уравнения было бы совсем непросто!
4). Пусть теперь . Запишем уравнение в виде: , или (для удобства!) в виде: . (3)
5). Интегрирование уравнения (3) не составит труда, даже на начальном этапе освоения неопределённого интеграла → . (4)
Ответ: общее решение ДУ ; в данном случае решение можно получить формально из общего при значении =0; запишем общее решение и в виде , из которого решение получается из общего при значении =0.
☻
Вопросы для самопроверки:
-
Какое уравнение называют дифференциальным?
-
Как определить порядок ДУ?
-
Что такое решение ДУ, частное решение ДУ?
-
Что такое общее решение ДУ?
-
Что значит решить Задачу Коши?
-
Что такое семейство кривых?
-
Как построить уравнение, решением которого является заданное семейство кривых?
-
Каковы стандартные формы ДУ с разделяющимися переменными?
-
Какова стандартная схема решения ДУ с разделяющимися переменными?
Задачи для самоподготовки:
Пример C2–1: Показать, что при любом действительном значении параметра заданная функция является решением ДУ: .
Ответ: заданная функция является решением ДУ.
Пример C2–2: Составить дифференциальное уравнение семейства гипербол: .
Ответ: .
Пример C2–3: Методом изоклин построить приближенно семейство интегральных кривых для дифференциального уравнения: = –.
Ответ: рисунок семейства прилагается.
Пример C2–4: Решить дифференциальное уравнение: =.
Ответ: – общее решение ДУ (семейство гипербол).
Пример C2–5: Решить дифференциальное уравнение: .
Ответ: – общее решение ДУ.
Пример C2–6: Найти частное решение ДУ: , удовлетворяющее условию: =1.
Ответ: – частное решение ДУ. Через точку проходит единственная кривая.
•• ☻☻ ••
ЗАНЯТИЕ 3. Однородные функции и однородные уравнения первого порядка. Уравнения специального вида, приводящиеся к однородному дифференциальному уравнению 1-го порядка. Выдача части-1 БДЗ.
Ауд. |
Л-2, Гл. 10 |
№ 47, 50, 55, 56, 59, 60, 62, 177. |
8 |
☺ ☻ ☺
Однородные функции и их использование в решениях однородных ДУ 1-порядка:
Функция называется однородной функцией порядка относительно переменных , если при любом верно: . В частном случае функция может оказаться такой, что . В этом случае, так как =1, говорят, что функция однородная нулевого порядка. Однородную функцию нулевого порядка можно представить в виде функции: =. Если функция однородная функция порядка относительно переменных , то её отношение к величине есть однородная функция нулевого порядка. В таком случае верно: =, что равносильно записи исходного определения: .
Однородные дифференциальные уравнения 1-порядка вида: . (1)
1). Запись (1) подсказывает, что исследуемый процесс определяется отношением величин и это отношение неплохо бы (подсказано!) назвать одной величиной: , то есть .
2). Так мы хотим, чтобы функция была решением уравнения (1), необходимо подставить её в исходное уравнение (по определению!)!.. Так как , после подстановки и в (1) получаем: , или (так как ) . (2)
3). Уравнение (2) есть уравнение с разделяющимися переменными! Исследуем равенство: . Если имеется такое число , что , то , или есть решение уравнения (1).
4). Теперь примем: . Уравнение (2) запишем в виде: . Его интегрирование даёт общий интеграл (решение): . (3)
5). Будем считать, что интеграл в выражении (3) удалось вычислить: . Если в последнем заменить , получим общий интеграл уравнения (1): .
Однородные уравнения 1-порядка вида: . (4)
1). Если в записи (4) функции и однородные одного порядка, то его легко преобразовать к виду (1).
2). Как всегда, сначала попробуем выделить решения уравнения, используя (4). Если при значении случится , то прямая есть решение уравнения. Если при значении случится , то прямая есть решение уравнения.
3). Теперь, принимая и , уравнение (4) запишем в форме (1): . Далее по общему алгоритму!..
••• ≡ •••
Пример 1–47: Решить дифференциальное уравнение: . (1)
Решение:
1). Прежде всего, отметим, что исходное уравнение (1) имеет очевидное решение .
2). Так как в заданном уравнении правая часть зависит только от отношения неизвестных, то это уравнение – однородное! Примем и запишем: ==.
3). Исследуем равенство: , в нашем случае . Из тригонометрии известно решение последнего: , или – семейство прямых, проходящих через начало координат . При значении получаем упомянутое в п. 1) решение .
4). Теперь примем и вычислим интеграл ==.
5). Для функции получено общее решение: =, или . Учитывая, что , перепишем общее решение использованием : .
Ответ: – общее решение ДУ, также: , .
Пример 2–50: Решить дифференциальное уравнение: . (1)
Решение:
1). Прежде всего, отметим, что исходное уравнение (1) имеет очевидное решение .
2). Видим, в записи (1) функции и однородные порядка 1. Учитывая, что теперь , запишем уравнение (1) в виде: =. (2)
3). Запишем: =. Вычислим интеграл ==.
4). Для функции получено общее решение: =, или . Учитывая, что , перепишем общее решение использованием : , удобнее .
Ответ: – общее решение ДУ, также x=0 (из общего не выделяется ни при каком ).
Пример 3–55: Решить дифференциальное уравнение: . (1)
Решение:
Замечание: так как переменная может принимать как значения , так и , необходимо рассмотреть оба случая!
0). Прежде всего, отметим, что исходное уравнение (1) не предлагает простейших решений вида: и .
Случай-1, когда x>0:
1). Разделим равенство (1) на положительное значение . Получим: y′ =+.
2). Так как в заданном уравнении правая часть зависит только от отношения неизвестных, то это уравнение – однородное! Примем и запишем: ==.
3). Исследуем равенство: , в нашем случае . Получаем решение в виде: , или .
4). Теперь примем и вычислим интеграл ==.
5). Для функции получено общее решение: =, или . Учитывая, что , перепишем общее решение использованием : .
Ответ: – общее решение ДУ; также .
Случай-2, когда x<0:
1). Разделим равенство (1) на отрицательное значение . Получим: y′ =–.
2). Так как в заданном уравнении правая часть зависит только от отношения неизвестных, то это уравнение – однородное! Примем и запишем: ==.
3). Исследуем равенство: , в нашем случае . Получаем решение в виде: , или .
4). Теперь примем и вычислим интеграл ==.
5). Для функции получено общее решение: =, или . Учитывая, что , перепишем общее решение использованием : .
Ответ: – общее решение ДУ; также .
Замечание: многие Случай-2 не выделяют (в шахматах это называют зевок)!..
Пример 4–56: Решить дифференциальное уравнение: . (1)
Решение:
1). Прежде всего, отметим, что исходное уравнение (1) имеет очевидное решение , в то же время решение невозможно.
2). Видим, в записи (1) функции и однородные 2-го порядка. Принимая и , запишем уравнение (1) в виде:
===. (2)
3). Примем и запишем выражение: . Исследуем равенство: , в нашем случае . Так как , то . Остаётся: , или в виде .
4). Теперь примем и запишем интеграл =. Вычисление записанного интеграла (интегрирование дробно-рационального выражения) процесс весьма трудоёмкий!.. Очень важно студенту поддаться чувству лени (в хорошем смысле этого слова – сделать дело, но с меньшими напряжениями сил!) и поискать другой способ решения! А другой способ всего один – считать решением функцию .
5). Повторив, с точностью до обозначений, все предыдущие действия получим уравнение:
==. (3)
6). Примем и запишем выражение: . Исследуем равенство: , в нашем случае . Получаем: , или в виде .
7). Теперь примем и вычислим интеграл ==.
8). Для функции получено общее решение: =, или . Учитывая, что , перепишем общее решение использованием : .
Ответ: – общее решение ДУ; также . Решение может быть получено формально из общего решения при значении: .
Пример 5–59: Решить дифференциальное уравнение: . (1)
Решение:
1). Прежде всего, отметим, что исходное уравнение (1) имеет очевидное решение – уравнение прямой линии, параллельной оси .
2). Заданное ДУ – специального вида: с учётом его нетрудно преобразовать к виду: =. (2)
3). Уравнение вида (2) достаточно просто приводится к однородному уравнению, которое мы уже умеем решать! Так как прямые : и : пересекаются, то для перехода к однородному уравнению используют преобразование параллельного переноса начала координат исходной системы в точку пересечения этих прямых: , . Для нахождения величин решим систему уравнений: Нетрудно получить значения: .
4). Применяя преобразование: , , перепишем дифференциальное уравнение (2): – однородное уравнение. (3)
5). Примем и запишем выражение: . Исследуем равенство: , в нашем случае . Получаем два решения: и , или и , или и .
6). Пусть теперь . Вычислим интеграл: ==. Применяя правила интегрирования дробно-рациональных выражений, запишем:
==. (4)
8). Для функции получено общее решение: =, или . Учитывая, что , а также , перепишем общее решение использованием функции , используемой в исходном уравнении: .
Ответ: – общее решение ДУ, также и (которое выделяется из общего при значении ).
Пример 6–60: Решить дифференциальное уравнение: . (1)
Решение:
1). Прежде всего, отметим, что исходное уравнение (1) не имеет очевидных решений.
2). Заданное ДУ – специального вида: с учётом его нетрудно преобразовать к виду: =. (2)
3). Нетрудно заметить, что прямые : и : параллельны. В этом частном случае задача решается преобразованием уравнения к виду – с разделяющимися переменными!
4). Примем:. Учитывая , уравнение (2) преобразуем к виду:
. (3)
5). Из записи (3) легко видеть решение: , или . Это решение можно было заметить и из исходной записи, но из записи (3) оно очевидно!
6). Интегрирование уравнения (3): =, или =. Учитывая , запишем окончательно для общего решения:
Ответ: – общее решение ДУ, также (из общего решения не выделяется ни при каком значении ).
Пример 7–62: Решить дифференциальное уравнение: . (1)
Решение:
1). Уравнение (1) только слегка похоже на уравнение специального вида. Преобразуем дробь, которая является аргументом тангенса: ==–2. Теперь видим уравнение вида: , то есть специального вида. Нетрудно заметить, что прямые линии : и : перпендикулярны, то есть пересекаются! Для перехода к однородному уравнению используют преобразование параллельного переноса начала координат исходной системы в точку пересечения этих прямых (–1,–2). Эта точка определяет преобразование переменных: , .
2). Применяя преобразование: , , перепишем дифференциальное уравнение . Легко получаем уравнение: . (2)
3). Примем и запишем выражение: . Исследуем равенство: , у нас: . Получаем решения: , , или , или , или – семейство прямых линий.
4). Пусть теперь . Вычислим интеграл: ==. Применяя таблицу интегралов, запишем: =.
5). Для функции получено общее решение: =. Учитывая, что , а также , перепишем общее решение с использованием функции : .
Ответ: – общее решение ДУ, также ,.
Пример 8–177: Найти уравнение кривой, проходящей через точку (3,1), если длина отрезка, отсекаемого любой её касательной на оси ординат, равна поднормали.
В Главе 1 пособия по теории Дифференциальных уравнений в § 3 получено выражение: для отрезка =, отсекаемого касательной на оси ординат, и = – поднормаль.
Решение:
1). Учитывая, что точки A и M могут располагаться по одну сторону от оси ОХ и по разные, запишем два варианта использования условия задачи =:
▪ Случай-1: =; (1)
▪ Случай-2: =. (2)
Случай-1.
2). Нетрудно заметить из (1) решение , но оно нам не потребуется! Теперь примем и преобразуем уравнение (1) к виду:
. (3)
3). Примем и, используя (3), запишем выражение: 1. Это значит, что в этом случае дополнительных решений нет. Вычислим интеграл ==.
4). Для функции получено общее решение: =, или, учитывая, что , получаем общее решение использованием : , или . (4)
Случай-2.
5). На этот раз уравнение (2) запишем в виде: . (5)
6). Примем и, используя (5), запишем выражение: . Это значит, что и в этом случае дополнительных решений нет. Вычислим интеграл ==.
7). Для функции получено общее решение: =, или, учитывая, что , получаем общее решение использованием : , или . (6)
8). Через точку (3,1) в Случае-1 проходит интегральная кривая: , в Случае-2 кривая линия: . (5)
Ответ: – общее решение ДУ; частное решение: .
☻
Вопросы для самопроверки:
-
Какое уравнение называют дифференциальным?
-
Что такое решение ДУ, частное решение ДУ?
-
Что такое общее решение ДУ?
-
Что значит решить Задачу Коши?
-
Каковы стандартные формы однородных уравнений?
-
Какова стандартная схема решения однородных уравнений?
-
Какова стандартная форма уравнений, приводящихся к однородным уравнениям?
Задачи для самоподготовки:
Пример C3–1: Решить дифференциальное уравнение: .
Ответ: – общее решение ДУ.
Пример C3–2: Решить дифференциальное уравнение: .
Ответ: – общее решение ДУ, также и .
Пример C3–3: Решить дифференциальное уравнение: .
Ответ: – общее решение ДУ, также , .
Пример C3–4: Решить дифференциальное уравнение: .
Ответ: – общее решение ДУ, также .
Пример C3–5: Решить дифференциальное уравнение: , y(1)=1.
Ответ: Общее решение: и ; частное решение: .
Пример C3–6: Найти уравнение кривой, проходящей через точку (1,0), если длина отрезка оси абсцисс, отсекаемая её нормалью на 2 больше абсциссы точки касания.
Ответ: – частное решение: парабола; – частное решение: эллипс.
•• ☻☻ ••
ЗАНЯТИЕ 4. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнения Бернулли.
Ауд. |
Л-2, Гл. 10 |
№ 67, 68, 74, 78, 83, 86, 95, 179, 193. |
9 |
☺ ☻ ☺
Дифференциальное уравнение 1-порядка называют линейным, если входящие в него искомая функция и ее производная входят в уравнение в 1-й степени. Запись линейного уравнения считаем стандартной, если она имеет вид: , (1)
где и – непрерывные функции переменной или постоянные.
Для формы записи (1) используем стандартный алгоритм решения уравнения:
1. Решение уравнения ищем в виде функции: , где и .
2. Вычисляем интеграл: и записываем выражение: =.
3. Вычисляем: =, где произвольная постоянная величина , в зависимости от конкретных выражений для функций и , может быть записана и в виде выражений , и др.
4. Запишем общее решение уравнения: =∙.
Замечание: Для того, чтобы формально (как предписанную технологию) применять стандартный алгоритм решения линейного уравнения, первым действием при решении линейного уравнения 1-го порядка всегда должно быть приведение конкретного уравнения к форме записи (1)!..
••• ≡ •••
Пример 1–67: Решить дифференциальное уравнение: . (1)
Решение:
1). Уравнение (1) соответствует стандартной форме: и .
2). Вычисляем интеграл: == и записываем выражение: ==.
3). Вычисляем: ==+ =+=+.
4). Запишем общее решение уравнения: =∙.
Ответ: = ∙– общее решение.
Пример 2–68: Решить дифференциальное уравнение: . (1)
Решение:
1). Приводим уравнение (1) к стандартной форме: .
2). Вычисляем интеграл: ==. Тогда: ==, или =.
Замечание: в последней записи выражения для функции знак модуля опущен, так как от функции требуется только обеспечить выполнение равенства: (это показано в Пособии при получении алгоритма решения линейного уравнения).
3). Вычисляем: ==+ =+.
4). Запишем общее решение уравнения: =∙=.
Ответ: = – общее решение.
Пример 3–74: Решить дифференциальное уравнение: =. (1)
Решение:
1). Прежде всего, отметим, что исходное уравнение (1) имеет очевидное решение .
2). Теперь принимаем и приводим уравнение к стандартной форме: . (2)
Замечание: Переход от записи решения в виде функции к записи подсказан исходным выражением (1) вполне выразительно!..
3). Решение уравнения ищем в виде функции: , где и .
4). Вычисляем интеграл: ==. Тогда: ==, или =.
5). Вычисляем: ==+ =+.
6). Запишем общее решение уравнения: =∙=.
Ответ: = – общее решение. Из исходного уравнения также: – решение.
Пример 4–78: Решить дифференциальное уравнение: . (1)
Решение:
1). Приводим уравнение (1) к стандартной форме: .
2). Вычисляем интеграл: ==. Получаем: ==, или (удобнее!) =.
Замечание: в последней записи выражения для функции знак модуля опущен, так как от функции требуется только обеспечить выполнение равенства: (это показано в Пособии при получении алгоритма решения линейного уравнения).
3). Вычисляем: ==+ =.
4). Запишем общее решение уравнения: =∙=.
Ответ: = – общее решение.
Пример 5–83: Решить дифференциальное уравнение: , y(0)=0. (1)
Решение:
1). Уравнение (1) соответствует стандартной форме: и .
2). Вычисляем интеграл: ==. Получаем: ==, или (удобнее!) =.
Замечание: в последней записи выражения для функции знак модуля опущен, так как от функции требуется только обеспечить выполнение равенства: (это показано в Пособии при получении алгоритма решения линейного уравнения).
3). Вычисляем: ==+ =.
4). Запишем общее решение уравнения: =∙=.
8). Через точку (0,0) проходит интегральная кривая: , так как =0.
Ответ: = – общее решение; – частное решение.
☺ ☻ ☺
Дифференциальные уравнения 1-порядка Бернулли в стандартной записи:
, (1)
где и – непрерывные функции переменной или постоянные, – произвольное число. Уравнение Бернулли интересно тем, что использованием стандартного приёма приводится к линейному уравнению, которое мы уже умеем решать!.. Вот этот приём:
1. Применим подстановку: и перепишем (1): .
2. Обозначив: = и =, запишем: – линейное уравнение в стандартной форме.
Замечание: Для того, чтобы формально (как предписанную технологию) применять стандартный алгоритм решения уравнения Бернулли, первым действием всегда должно быть приведение конкретного уравнения к форме записи (1)!..
••• ≡ •••
Пример 6–86: Решить дифференциальное уравнение: . (1)
Решение:
1). Уравнение (1) есть уравнение Бернулли в стандартной форме для значения, при этом имеем: и .
2). Применим подстановку: = и перепишем (1) как: , то есть: , или , где =, =.
3). Далее применяем стандартный алгоритм решения линейного уравнения: , записанного в стандартной форме, приняв .
4). Вычисляем интеграл: == и записываем выражение: ==.
5). Вычисляем: =+=+ ==+.
6). Запишем общее решение уравнения: =∙, или =∙.
Ответ: =∙– общее решение.
Пример 7–92: Решить дифференциальное уравнение: . (1)
Решение:
1). Уравнение (1) относительно очевидно не есть линейное, потому искать в нём признаки уравнения Бернулли нет смысла! Остаётся поискать линейность относительно . Перепишем уравнение (1): . (2)
2). Уравнение (2) есть уравнение Бернулли в стандартной форме для значения, при этом имеем: и . Далее решаем стандартно!..
3). Применим подстановку: = и перепишем (2) как: , то есть: , или , где =, =.
4). Далее применяем стандартный алгоритм решения линейного уравнения: , записанного в стандартной форме, приняв .
5). Вычисляем интеграл: == и записываем выражение: ==.
Замечание: в последней записи выражения для функции знак модуля опущен, так как в исходном уравнении предполагается .
6). Вычисляем: =+=+ =+.
7). Запишем общее решение уравнения: =∙, или =∙.
Ответ: – общее решение уравнения.
Пример 8–95: Решить дифференциальное уравнение: , y=1. (1)
Решение:
1). Очевидно: (1) не является уравнением Бернулли для y, y′. Это подсказывает необходимость перехода к функции : x′+x=x3. (2)
2). Уравнение (2) есть уравнение Бернулли в стандартной форме для значения, при этом имеем: и . Далее решаем стандартно!..
3). Применим подстановку: = и перепишем (2) как: , то есть: , или , где =, =.
4). Далее применяем стандартный алгоритм решения линейного уравнения: , записанного в стандартной форме, приняв .
5). Вычисляем интеграл: == и записываем: ==.
6). Вычисляем: =+=+ =+.
7). Запишем общее решение уравнения: =∙, или =.
8). Через точку проходит интегральная кривая: , так как =3.
Ответ: – общее решение уравнения; частное решение: .
Пример 9–179: Найти уравнение кривой, проходящей через точку (1,0), если площадь трапеции, образованной касательной в этой точке, осями координат и ординатой точки касания, постоянна и равна .
В Главе 1 пособия по теории Дифференциальных уравнений в § 3 получено выражение: для отрезка =, отсекаемого касательной на оси ординат, причём =.
Решение:
1). Так как площадь трапеции вычисляется по формуле: S=h, где a и b – стороны оснований, h – высота трапеции, условие задачи запишем так:
▪ Случай-1: ; (1)
▪ Случай-2: . (2)
Случай-1.
2). Нетрудно заметить из (1) что и преобразуем уравнение (1) к виду:
. (3)
3). Уравнение (3) есть линейное уравнение стандартной формы. Вычисляем интеграл: ==. Получаем: ==.
4). Вычисляем: ==+ =.
5). Запишем общее решение уравнения: , или =∙=. Частное решение получается при значении , именно: .
6). Полезно построить эскиз графика интегральной кривой, проходящей через точку (1,0): . На рисунке показано, как получается нужная кривая: это сумма хорошо известных функций гиперболы и параболы. Заметим, что мы должны использовать только график для значений !
Случай-2.
7). Перепишем уравнение (2): . (4)
8). И в этом случае получаем: =. Очевидно, и выражение для функции получаем: =.
9). Общее решение ДУ: =∙=. Частное решение получается при значении , именно: , этот график симметричен относительно графику, построенному для Случая-1 (выделено красным цветом!).
Ответ: – общее решение ДУ; частное решение: , заметим, что мы должны использовать только график для значений !
Замечание: Если не заметить присутствия двух различных вариантов решения рассмотренной задачи, то зеркальное решение будет потеряно. В задачах физики это дополнительно подсказывает важность понимания начальных условий исследуемого процесса: возможно исследователю потребуются дополнительные эксперименты для уточнения особенностей протекания процесса.
Пример 10–193: Лодка замедляет свое движение под действием сопротивления воды, которое пропорционально скорости лодки. Начальная скорость лодки 1.5 м/с, скорость её через 4 секунды равна 1 м/с. Когда скорость уменьшится до 1 см/с? Какой путь пройдет лодка до остановки?
Решение:
Для решения задачи необходимо уточнить: система координат, используемая при решении задачи, связана с берегом реки и считается инерциальной. Это значит, что второй закон Ньютона в этой системе выполняется и можно записать дифференциальное уравнение:
, (1)
где – масса лодки с гребцом; – коэффициент торможения лодки из-за сопротивления воды. Движение лодки происходит по инерции (гребец сушит весла!).
Для удобства записи используемых выражений обозначим: и запишем уравнение в виде, удобном для интегрирования: =. (2)
Интегрируя (2), получаем общее решение: , где – начальная скорость движения лодки, у нас M/с. Следует обратить внимание на то, что в задаче не определены ни движущаяся масса, ни коэффициент трения лодки о воду – это дополнительные волнения для того, кто решает задачу!.. Но, мы имеем дополнительные сведения (легко устанавливается экспериментально!), которые позволят полностью определить закон движения лодки.
Из условия: через 4 секунды движения, то есть =4c, наблюдаемая скорость уменьшилась до величины = 1 [м/с] → Можем записать равенство: , откуда: ≈ 0.67. Обозначим и запишем: ≈.
Итак, закон движения лодки в процессе торможения: , у нас . После этого можем определить время, когда скорость лодки уменьшилась до M/с. Используя закон движения лодки, запишем равенство: , откуда → t ≈ 50 c.
Для ответа на второй вопрос необходимо проинтегрировать уравнение: . Примем, что начальное положение лодки: . Тогда =≈ 15 м.
Замечание: при вычислении несобственного интеграла учтено, что для верхнего предела значение этого интеграла равно нулю!
Ответ: Время: t ≈ 50 c. До полной остановки лодка переместится на расстояние x ≈ 15 м (это будет проистекать бесконечно долго!).
☻
Вопросы для самопроверки:
-
Как определяют линейное дифференциальное уравнение 1-го порядка?
-
Что значит: «стандартная форма» линейного уравнения, зачем её вводят?
-
Какова основная «идея» способа «подстановки» решения линейного уравнения?
-
Всегда ли можно «проинтегрировать» линейное ДУ?
-
Какие уравнения относят к уравнениям Бернулли?
-
В чем особенность интегрирования уравнения Бернулли?
-
Бывают ли уравнения Бернулли, которые невозможно «проинтегрировать»?
Задачи для самоподготовки:
Пример C4–1: Решить дифференциальное уравнение: .
Ответ: = – общее решение ДУ.
Пример C4–2: Решить дифференциальное уравнение: .
Ответ: = – общее решение ДУ.
Пример C4–3: Решить дифференциальное уравнение: .
Ответ: – общее решение ДУ, также .
Пример C4–4: Решить дифференциальное уравнение: , y=1.
Ответ: – общее решение ДУ, также , частное: .
Пример C4–5: Найти уравнение кривой, проходящей через точку (0,1), если площадь треугольника, образуемого осью абсцисс, касательной и радиус-вектором точки касания, постоянна и равна 1.
Ответ: – общее решение ДУ; частное решение: , заметим, что мы должны использовать только график для значений !
Пример C4–6: Сила тока в цепи с сопротивлением , индуктивностью и напряжением u удовлетворяет уравнению: . Найти силу тока i в момент времени t, если и при начальном значении , (– постоянные).
Ответ: = – частное решение.
•• ☻☻ ••
ЗАНЯТИЕ 5. Уравнения в полных дифференциалах.
Ауд. |
Л-2, Гл. 10 |
№ 96, 98, 100, 102, 104, 149, 154,171,187. |
9 |
☺ ☻ ☺
Дифференциальное уравнение 1-порядка называют уравнением в полных дифференциалах, если входящие в него функции и непрерывны и дифференцируемы, а также выполняется условие: =, причём частные производные и – непрерывные функции в некоторой области .
Для решения дифференциального уравнения в полных дифференциалах используем стандартный алгоритм:
1. Проверяем выполнение условия: =. Если условие выполняется, то заданное уравнение есть уравнение в полных дифференциалах. Решение ищем в виде функции .
2. Имея функцию =, находим функцию: =+, где отражает ту часть функции , которая была потеряна при дифференцировании: . Для удобства обозначим: =
3. Функцию находим из условия =, или +=. Для этого необходимо проинтегрировать: =–, то есть вычислить интеграл: =.
4. Запишем решение: =+=.
••• ≡ •••
Пример 1–96: Решить дифференциальное уравнение: , предварительно убедившись, что оно является уравнением в полных дифференциалах.
Решение:
1). Проверим выполнение условия: =. У нас: =1 и =1 → заданное уравнение есть уравнение в полных дифференциалах.
2). Вычислим интеграл: ===.
3). Вычислим производную: = и запишем условие: =–. Для заданного уравнения: ==.
4). Вычислим интеграл: ===.
5). Запишем решение: =+=. У нас: +=.
Ответ: += – общее решение.
Пример 2–98: Решить дифференциальное уравнение: , предварительно убедившись, что оно является уравнением в полных дифференциалах.
Решение:
1). Проверим выполнение условия: =. У нас: = и = → заданное уравнение есть уравнение в полных дифференциалах.
2). Вычислим интеграл: ===.
3). Вычислим производную: = и запишем условие: =–. Для заданного уравнения: ==.
4). Вычислим интеграл: ===.
5). Запишем решение: =+=. У нас: =.
Ответ: = – общее решение.
Замечания: 1). Пример интересен тем, что заданное ДУ можно отнести и к однородным уравнениям: функции и – однородные порядка 2. Если попробовать решать его по схеме однородного уравнения, то трудоёмкость процесса возрастет в разы: f(u)–u=–u= → J=.
2). Ещё большим будет интерес, если обратить внимание на ситуацию возможного равенства: =0. По основной теореме алгебры мы получим три корня: , , → получаем дополнительно три решения ДУ: , , – прямые, проходящие через начало координат.