§ 2. Уравнение 1-го порядка с разделяющимися переменными.
В теории дифференциальных уравнений дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными – простейшие. Выясним, что такое – дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными?
Пусть
имеем функции:
и
.
Выражение
=
есть первообразная для функции
,
что (в соответствии с определением)
проверяется дифференцированием.
Аналогично, выражение
=
есть первообразная для функции
.
Допустим,
что
есть функция переменной
.
Учитывая выражение
,
можем записать:
=
.
Запишем
равенство:
+
=
.
Используя правило дифференцирования
суммы функций по переменной
,
получим уравнение:
– дифференциальное уравнение относительно
переменной
,
неизвестной функции:
и её производной
.
Учитывая,
как было получено уравнение:
,
можем утверждать (в соответствии с
определением), что неявная функция:
=
–
есть решение этого уравнения. Учитывая
выражение:
=
,
уравнение
запишем в форме с использованием
дифференциалов: 
. (5)
Уравнение
(5) называется уравнением
с разделёнными переменными
и
.
Так как равенства
+
=
и
+
=
равносильны, то решение дифференциального
уравнения (5) запишем в виде: 
+
=
. (6)
Выражение
(6) есть решение уравнения (5): определяет
как неявную функцию независимой
переменной
.
Симметричность выражения (5) позволяет
считать, что это же уравнение определяет
как неявную функцию независимой
переменной
.
Итак,
решение уравнений с разделёнными
переменными достаточно просто: нужно
применить неопределённые интегралы к
левой части дифференциального уравнения
(5) и полученную сумму приравнять
произвольной постоянной величине
.
2.1. Формы записи дифференциального уравнения с разделяющимися переменными.
Отметим
существенные признаки дифференциального
уравнения с разделяющимися переменными:
а) множитель дифференциала
зависит только от переменной
;
б) множитель дифференциала
– только от переменной
.
Если
уравнение с использованием дифференциалов
переменных
и
записано в виде выражения: 
. (7)
Уравнение,
представленное в виде записи (7), называется
дифференциальным уравнением
с разделяющимися переменными,
так как, разделив его на произведение
,
можем получить уравнение
с разделёнными переменными
и
:
. (8)
Пусть
дифференциальное уравнение 1-го порядка
записано с использованием нормальной
формы в виде записи: 
. (9)
Уравнение,
представленное в виде записи (9), также
называется дифференциальным уравнением
с разделяющимися переменными,
так как, разделив его на множитель
и учитывая выражение
,
можем получить уравнение
с разделёнными переменными
и
:
. (10)
Замечание:
При
переходе от записи уравнения в форме
(7) к записи в форме (8) требуется проверка
условий
и
.
Аналогично, при переходе от уравнения
(9) к уравнению (10) необходимо проверять
условие
.
Если эти проверки не делать, то можно
часть решений дифференциального
уравнения потерять!
Учитывая определение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными, заметим, что в каждом из рассмотренных во введении примеров мы имеем уравнения с разделяющимися переменными:
1). В
примере 1 использовалось уравнение
– частный случай записи уравнения в
нормальной форме (9), которое может быть
записано в форме
– уравнение с разделёнными переменными.
2). В
примере 2 было получено уравнение в виде
выражения
=
– частный случай записи уравнения (7).
Так как
,
последнее запишем в виде:
– уравнение с разделёнными переменными.
Во
введении для нахождения законов движения
при свободном падении тела, а также
закона изменения давления атмосферы
воздуха мы использовали понятие
первообразной. Теперь, получив запись
уравнения в форме дифференциального
уравнения с разделёнными переменными,
поиск решения осуществляется формальным
применением неопределённого интеграла
к уравнению. В примере 1 решение сразу
можно записать в виде:
,
что легко приводится к записи:
.
Аналогично записываем:
– решение уравнения в примере 2, которое
может быть представлено в виде: 
.