2.2. Решение неоднородного дифференциального уравнения n-го порядка

Пусть задано линейное неоднородное уравнение - го порядка с коэффициентами, зависящими от переменной:

. (10)

Как и в случае линейного неоднородного уравнения 2-го порядка, записываем соответствующее заданному уравнению однородное уравнение:

. (11)

Пусть общее решение однородного уравнения (11) записано как: =, где, – произвольные постоянные величины и функции-решения,,...,– линейно независимы. Как и в случае уравнения 2-го порядка, будем считать, что все произвольные постоянные величины обратились в функции переменной, причём такие, что функция=становится решением неоднородного (заданного) уравнения (10). Вычисляем для этой функции все производные:, причём на каждом шаге вычисления производных определяем требования к множеству производных,и:

→ требование: =0,

→ требование: =0,

→ требование: =0, (12)

→ требование: =0,

→ требование: =,

в системе уравнений (12) последнее уравнение получено после подстановки функции и всех её производныхв исходное уравнение (10) с применением требования превращения выражения (10) в тождество.

Нетрудно заметить, что определителем системы уравнений (12) является определитель Вронского: , которыйне равен нулюдля системы независимых функций-решений однородного уравнения. Это значит, чторешениесистемы уравнений (12)существует и единственно: функции:,,...,определеныоднозначно.

Для нахождения функций ,, и т.д.,остаётся вычислить интегралы:

=+,=+, ...,=+. (13)

В выражении (13) величины ,,..., являются произвольными постоянными интегрирования. Используя (13), запишем, полученное методом вариации произвольных постоянных величин, общее решение исходного, неоднородного, уравнения:

=++++. (14)

или: =+. (15)

Учитывая результаты, полученные при рассмотрении неоднородных уравнения 2-го порядка и в общем случае уравнений - го порядка, запишемобщий алгоритмрешения линейного неоднородного дифференциального уравнения методом вариации произвольных постоянных величин:

Этап : 1). Находим характеристические корни однородного уравнения: ,,...,.

2). Строим ФСР: ,,...,, записываемобщеерешение:=.

Этап : 1). Решая систему (12), находим все функции: , ,..., .

2). Вычисляем интегралы: ,,...,.

3). Вычисляем =+++. Записываем=+– общее решение неоднородного уравнения.

§ 3. Решение линейного неоднородного дифференциального уравнения методом «неопределённых коэффициентов».

Функцию называютспециальной, прежде всего из-за того, что её запись имеет специальную (стандартную) форму:=, (16)

в записи (16) множитель – многочлен отстепени, множитель– многочлен отстепени: в общем случае считаем;и– действительные числа.

Замечание: Будем считать, что многочленыиприсутствуют в записи (16) всегда, даже и в тех случаях, когда один из них равен нулю!..

При построении алгоритмов решения конкретных уравнений важную роль будет играть число: =, которое использует параметрыивыражения (16). Выделим частные случаи построения функции:

– Классификационным признаком случая будем называть число =, причёмв частном случае может быть равно нулю. Это значит, что число-обязательно действительное.

– Классификационным признаком случая будем называть число =, причём. Это значит, что число-обязательно комплексно-сопряжённое.

Замечание: Выделение случаевиможет показаться неожиданным! Но, ведь естественно сначала провести исследования с давно привычным действительным числом, а потом выявлять особенности применения комплексного числа!..

Если задано линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами и установлено, что его правая часть имеет специальный вид (16), то этот факт считают классификационным признаком: такое уравнение решают, применяя стандартный алгоритм! Логика этого факта: функция– специальная → применяемспециальный(стандартный)алгоритмрешения!

Замечание: Если в записиодновременно выделяется несколько чисел, например, числа:=и=, применяют свойство аддитивности (по Теореме 9.3). В таком случае решают две задачи. Для функциинаходят решение, для функции– решение, затем их объединяют в виде суммы решений:=+.

Изучение метода неопределённых коэффициентов (как и при изучении метода вариации произвольных постоянных) целесообразно начинать в применении к дифференциальным уравнениям 2-го порядка: в таком случае алгоритм решения уравнения будет менее громоздок, чем в случае уравнения- го порядка. Изучив все особенности применения метода неопределённых коэффициентов с использованием уравнений 2-го порядка, нетрудно будет определить обобщение для случая уравнений- го порядка.