3.1. Решение неоднородного дифференциального уравнения 2-го порядка.

Пусть задано линейное неоднородное дифференциальное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами: , где– специальная функция. (17)

Как всегда, решить линейное уравнение – значит найти его общее решение: =+. Начинают с простого, находят общее решение однородного уравнения: . Запишем его характеристическое уравнение:

. (18)

Найдя характеристические корни уравнения (18) и , в соответствии с теорией линейных однородных дифференциальных уравнений, запишем ФСР уравнения (17): , и его общее решение: =.

Так как алгоритм поиска частного решения существенно зависит от конкретной записи специальной функции , рассмотрим несколько случаев записи этой функции.

Случай -. Так как=, то правая часть уравнения:=, где– многочлен отстепени,– некоторое действительное число.

Так как функция задана, то в многочлене=все коэффициенты:,,...,– известные действительные числа. Учитывая опыт дифференцирования функции, заданной многочленом, а также показательной функции вида, можем догадаться, что частное решение уравнения (17) следует искать в виде функции:=. Заметим, в записи многочлена=все коэффициенты:,,...,–неопределённыедействительные числа, подлежащие вычислению!

Далее вычисляем: =и=. Поставляем функции,ив заданное уравнение (17) → после деления равенства на общий (не равный нулю!) множитель, получаем тождество:

=. (19)

Для удобства дальнейших рассуждений обозначим многочлен левой части равенства (19), с учётом присутствия параметра , как. Тогда равенство (19) следует понимать как тождественное равенство многочленови.

Замечание: В соответствии с теорией многочленов (высшая алгебра) многочленыитождественны(неразличимы!), если:

1) степенимногочленовсовпадают, то есть;

2) коэффициенты при одинаковых степеняхмногочленовсовпадают.

Оказывается, степень многочлена зависит от значения параметра, причём существенными оказываются случаи:

– значение числа =не является корнемхарактеристического уравнения (18), то естьи. В этом случае степень многочленаравна;

– значение числа =является простым корнемхарактеристического уравнения (18), то есть=и. В этом случае степень многочленаравна;

– значение числа =является кратным корнемхарактеристического уравнения (18), то есть==степень многочленаравна;

Нетрудно догадаться (в соответствии с определением равенства двух многочленов), что тождество (19) возможно лишь в случае .

Случай. Нахождение решения.

1). Записываем равенство, левая часть которого является суммой коэффициентов при множителе , а правая часть – известное число.

2). Записываем равенство, левая часть которого является суммой коэффициентов при множителе , а правая часть – известное число.

3). В последнем равенстве левая часть является суммой коэффициентов при множителе , а правая часть – число.

В результате получим систему уравнений для вычисления неизвестных коэффициентов многочлена: .

☺☺

Пример 9–04: Решить линейное неоднородное уравнение: .

Решение:

1). Найдем характеристические корни уравнения: → корни=1,=–4. Построим ФСР:=,=. Общее решение однородного уравнения:=.

2). Правая часть специальная: =. Ей соответствует число==. устанавливаем классификационный случай – этотак каки.

3). Ищем частное решение в виде функции =, вычисляем производные: этой функции=,=. Подставляя функциюи её производные в заданное уравнение, получаем тождество:, откуда находим:=,=, и частное решение=.

Ответ: общее решение:=+=+.

☻

Случай. Нахождение решения.

0). В этом случае в выражении (19) слагаемое обращается в нуль и левая часть равенства (19) теряет неопределённый коэффициент. Ситуация легко исправляется, если для нахождения решениявместо многочленаприменять многочлен. Далее продолжение стандартно.

1). Записываем равенство, левая часть которого является суммой коэффициентов при множителе , а правая часть – известное число.

2). Записываем равенство, левая часть которого является суммой коэффициентов при множителе , а правая часть – известное число.

3). В последнем равенстве левая часть является суммой коэффициентов при множителе , а правая часть – число.

В результате получим систему уравнений для вычисления неизвестных коэффициентов многочлена: .

☺☺

Пример 9–05: Решить линейное неоднородное уравнение: .

Решение:

1). Найдем характеристические корни уравнения: → корни=1,=–4. Построим ФСР:=,=. Общее решение однородного уравнения:=.

2). Правая часть специальная: =. Ей соответствует число==. устанавливаем классификационный случай – этотак как=и.

3). Ищем частное решение в виде функции =, вычисляем производные: этой функции=,=. Подставляя функцию,ив заданное уравнение, получаем тождество:

.

4). Приравнивая коэффициенты при степенях ,иполучим систему уравнений:

→,

→,

→.

5). Решая систему уравнений , получим для неопределённых коэффициентов:=,=. Это значит, частное решение уравнения:=.

Ответ: общее решение:=+=+.

☻

Случай. Нахождение решения.

0). В этом случае в выражении (19) обращаются в нуль: и. Это значит, что левая часть равенства (19) теряет неопределённые коэффициентыи. Ситуация легко исправляется, если для нахождения решениявместо многочленаприменять многочлен. Далее продолжение стандартно.

1). Записываем равенство, левая часть которого является суммой коэффициентов при множителе , а правая часть – известное число.

2). Записываем равенство, левая часть которого является суммой коэффициентов при множителе , а правая часть – известное число.

3). В последнем равенстве левая часть является суммой коэффициентов при множителе , а правая часть – число.

В результате получим систему уравнений для вычисления неизвестных коэффициентов многочлена: .

☺☺

Пример 9–06: Решить линейное неоднородное уравнение: .

Решение:

1). Найдем характеристические корни уравнения: → корни=1. Построим ФСР:=,=. Общее решение однородного уравнения:=.

2). Правая часть специальная: =. Ей соответствует число==. устанавливаем классификационный случай – этотак как=и=.

3). Ищем частное решение в виде функции =, вычисляем производные: этой функции=,=. Подставляя функцию,ив заданное уравнение, получаем тождество:

–2+=.

4). Приравнивая коэффициенты при степенях ,,иполучим систему уравнений:

→,

→,

→,

→.

5). Решая систему уравнений , получим для неопределённых коэффициентов:=,=0. Это значит, частное решение уравнения:=.

Ответ: общее решение:=+=+.

Пример 9–07: Решить линейное неоднородное уравнение: .

Решение:

0). Правая часть – специальная. Поставим ей в соответствие число .

1). Найдем характеристические корни: уравнение → корни=–,=. Построим ФСР:=,=.

2). Составим общее решение однородного уравнения: .

3). Составим выражение для частного решения. Учитывая, что число не совпадает с характеристическими корнямии, получаем=. Остается найти неопределенные коэффициенты.

4). Так как должно быть решением заданного неоднородного уравнения, найдем производную:=. Подставивив уравнение, получим тождество:

–=,

откуда находим значения: =–1,=–2,=6,=4 и записываем=.

5). Составим общее решение неоднородного уравнения: =+.

Ответ: общее решение:=.

☻

Рассмотрим теперь случай , когда число=обязательно комплексное, то есть параметр. Для функцииэто значит, что в её записи обязательно присутствие множителейи.

Случай -. Пусть:=, где– многочлен отстепени,– многочлен отстепени. В общем случае считаем, параметр, а значение параметрапроизвольно, включая значение.

Воспользуемся формулой Эйлера: =. Ничто не мешает вместо числаупотребить число, именно:=. Но, в таком случае нетрудно получить формулы:=и=.

Воспользуемся полученными формулами для случая, когда принимает значенияи запишем:=и=. Воспользовавшись этими формулами, запишем правую часть уравнения в виде:

=, (20)

или в виде: =+=+. (21)

Нетрудно заметить, что степень каждого из многочленов: ибудет определяться числом=.

Замечание: В частном случае один из многочленовилиможет быть нулевым!..

Для удобства обозначим многочлены: и. Обозначим также числа:=и=. Учитывая результаты рассмотрения Случаярешения неоднородного уравнения с правой частью=, нетрудно заметить правила построения формы записи решенийдля случая функцииидля случая функции:

1). Если число не совпадает с характеристическими корнямии, то=. Если=или=, то=.

2). Если число не совпадает с характеристическими корнямии, то=. Если=или=, то=.

Особенность рассматриваемого случая в том, что числа икомплексно-сопряжённые, и их несовпадения и совпадения с характеристическими корнями будут происходитьодновременно!

Учитывая выявленные особенности числа =, для случаяможем определитьобщий алгоритмнахождения частного решениязаданного неоднородного уравнения:

– значение числа =не является корнемхарактеристического уравнения (18), то естьи. В этом случае ищем частное решениев виде:

=, (22)

степени многочленов иопределяются из условия:=.

– значение числа =является корнемхарактеристического уравнения (18), то есть==. В этом случае ищем частное решениев виде:

=. (23)

Замечание: Случай, когда значение числамогло бы бать кратным корнем характеристического уравнения (18) для дифференциального уравнения 2-го порядка невозможен!..

Рассмотрим несколько примеров, которые подробно иллюстрируют правила записи общего вида частного решения с неопределёнными коэффициентами и затем нахождения решениядля заданного уравнения – вычисление всех неопределённых коэффициентов.

☺☺

Пример 9–08: Для дифференциального уравнения записать форму частного решения. Запись общего решения не требуется.

Решение:

1). Найдем характеристические корни уравнения: → его корни=. Построим ФСР:=,=.

2). Правая часть – специальная → число → можно сразу записать, учитывая участие многочлена первой (наибольшей!) степени:=. Так как числоне совпадает с, коррекции записине требуется.

Ответ:=.

Пример 9–09: Решить линейное неоднородное уравнение: .

Решение:

0). Правая часть – специальная. Ей соответствует число .

1). Найдем характеристические корни уравнения: уравнение → корни=. Построим ФСР:=,=.

2). Составим общее решение однородного уравнения: .

3). Составим выражение для частного решения. В правой части уравнения многочлен-множитель при функции имеет степень, равную 1, а многочлен-множитель приравен нулю (то есть степень многочлена равна 0). Это значит, что для частного решения необходимо использовать многочлен 1-й степени с неопределёнными коэффициентами. Учитывая, что числосовпадает с характеристическими корнями, получаем=. Остается найти неопределенные коэффициенты.

4). Так как должно быть решением заданного неоднородного уравнения, найдем производные:

=,

=.

Подставляя функцию и её производные в уравнение, получаем тождество:

+

+=,

5). Приравнивая коэффициенты при степенях ,и, с учётом множителейи, получим систему уравнений:

→,

→,

→, →=1,

→, →=0,

→, →=0,

→. →=1.

откуда находим значения: и записываем=.

6). Записываем частное решение уравнения: , и составляем общее решение неоднородного уравнения:=+.

Ответ: общее решение:=+.

Пример 9–10: Решить линейное неоднородное уравнение: .

Решение:

0). Правая часть – специальная. Поставим ей в соответствие число .

1). Найдем характеристические корни: уравнение → корни=–,=. Построим ФСР:=,=.

2). Составим общее решение однородного уравнения: .

3). Составим выражение для частного решения. Учитывая, что число не совпадает с характеристическими корнямии, получаем=. Остается найти неопределенные коэффициенты.

4). Так как должно быть решением заданного неоднородного уравнения, найдем производную:=. Подставивив уравнение, получим тождество:

–=,

откуда находим значения: =–1,=0,=–18,и записываем=.

5). Составим общее решение неоднородного уравнения: =+.

Ответ: общее решение:=.

☻